Theorem fsumsersdc 12106

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumsers.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumsers.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumsers.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumsers.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumsersdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsersdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		fsumsers.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzel2 9876	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		fsumsers.4	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
6		fzssuz 10420	. . . 4 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	sstrdi 3254	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
8		fsumsers.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
9		fsumsers.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
10	9	ralrimiva 2617	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
11		eleq1w 2295	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
12	11	dcbid 846	. . . . 5 |- ( k = j -> (DECID k e. A <-> DECID j e. A ) )
13	12	cbvralv 2780	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
14	10, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
15		fsumsers.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	1, 4, 7, 8, 14, 15	zsumdc 12095	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
17		fclim 12004	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
18		ffun 5516	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
20	8, 2, 15, 9, 5	fsum3cvg2 12105	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )
21		funbrfv 5718	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
22	19, 20, 21	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
23	16, 22	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   ifcif 3624   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   Fun wfun 5351   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   + caddc 8146   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833   ~~> cli 11988   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  fsum3ser  12108