Theorem fsumsersdc 11563

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumsers.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumsers.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumsers.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumsers.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumsersdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsersdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		fsumsers.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzel2 9609	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		fsumsers.4	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
6		fzssuz 10143	. . . 4 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	sstrdi 3196	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
8		fsumsers.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
9		fsumsers.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
10	9	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
11		eleq1w 2257	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
12	11	dcbid 839	. . . . 5 |- ( k = j -> (DECID k e. A <-> DECID j e. A ) )
13	12	cbvralv 2729	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
14	10, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
15		fsumsers.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	1, 4, 7, 8, 14, 15	zsumdc 11552	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
17		fclim 11462	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
18		ffun 5411	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
20	8, 2, 15, 9, 5	fsum3cvg2 11562	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )
21		funbrfv 5600	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
22	19, 20, 21	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
23	16, 22	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   Fun wfun 5253   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   0cc0 7882   + caddc 7885   ZZcz 9329   ZZ>=cuz 9604   ...cfz 10086   seqcseq 10542   ~~> cli 11446   sum_csu 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522

This theorem is referenced by:  fsum3ser  11565