Theorem fsumsersdc 11821

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumsers.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumsers.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumsers.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumsers.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumsersdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsersdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		fsumsers.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzel2 9688	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		fsumsers.4	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
6		fzssuz 10222	. . . 4 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	sstrdi 3213	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
8		fsumsers.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
9		fsumsers.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
10	9	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
11		eleq1w 2268	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
12	11	dcbid 840	. . . . 5 |- ( k = j -> (DECID k e. A <-> DECID j e. A ) )
13	12	cbvralv 2742	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
14	10, 13	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
15		fsumsers.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	1, 4, 7, 8, 14, 15	zsumdc 11810	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
17		fclim 11720	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
18		ffun 5448	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
20	8, 2, 15, 9, 5	fsum3cvg2 11820	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )
21		funbrfv 5640	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
22	19, 20, 21	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
23	16, 22	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   ifcif 3579   class class class wbr 4059   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   seqcseq 10629   ~~> cli 11704   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsum3ser  11823