Theorem fprodcllemf 11563

Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 11556 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllemf.ph	|- F/ k ph
fprodcllemf.s	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllemf.xy	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllemf.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllemf.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcllemf.1	|- ( ph -> 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fprodcllemf	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodcllemf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. . 3 |- F/_ j B
2		nfcsb1v 3082	. . 3 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3		csbeq1a 3058	. . 3 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
4	1, 2, 3	cbvprodi 11510	. 2 |- prod_ k e. A B = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B
5		fprodcllemf.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
6		fprodcllemf.xy	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
7		fprodcllemf.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
8		fprodcllemf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
9		fprodcllemf.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
10	9	ex 114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. S ) )
11	8, 10	ralrimi 2541	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
12		rspsbc 3037	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. S -> [. j / k ]. B e. S ) )
13	11, 12	mpan9 279	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [. j / k ]. B e. S )
14		sbcel1g 3068	. . . . 5 |- ( j e. _V -> ( [. j / k ]. B e. S <-> [_ j / k ]_ B e. S ) )
15	14	elv 2734	. . . 4 |- ( [. j / k ]. B e. S <-> [_ j / k ]_ B e. S )
16	13, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. S )
17		fprodcllemf.1	. . 3 |- ( ph -> 1 e. S )
18	5, 6, 7, 16, 17	fprodcllem 11556	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. A [_ j / k ]_ B e. S )
19	4, 18	eqeltrid 2257	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   F/wnf 1453   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [.wsbc 2955   [_csb 3049   C_ wss 3121  (class class class)co 5850   Fincfn 6714   CCcc 7759   1c1 7762   x. cmul 7766   prod_cprod 11500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-proddc 11501

This theorem is referenced by:  fprodreclf  11564  fprodclf  11585  fprodge0  11587  fprodge1  11589