Theorem fprodcllemf 11957

Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 11950 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllemf.ph	|- F/ k ph
fprodcllemf.s	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllemf.xy	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllemf.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllemf.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcllemf.1	|- ( ph -> 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fprodcllemf	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodcllemf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ j B
2		nfcsb1v 3126	. . 3 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3		csbeq1a 3102	. . 3 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
4	1, 2, 3	cbvprodi 11904	. 2 |- prod_ k e. A B = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B
5		fprodcllemf.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
6		fprodcllemf.xy	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
7		fprodcllemf.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
8		fprodcllemf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
9		fprodcllemf.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
10	9	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. S ) )
11	8, 10	ralrimi 2577	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
12		rspsbc 3081	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. S -> [. j / k ]. B e. S ) )
13	11, 12	mpan9 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [. j / k ]. B e. S )
14		sbcel1g 3112	. . . . 5 |- ( j e. _V -> ( [. j / k ]. B e. S <-> [_ j / k ]_ B e. S ) )
15	14	elv 2776	. . . 4 |- ( [. j / k ]. B e. S <-> [_ j / k ]_ B e. S )
16	13, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. S )
17		fprodcllemf.1	. . 3 |- ( ph -> 1 e. S )
18	5, 6, 7, 16, 17	fprodcllem 11950	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. A [_ j / k ]_ B e. S )
19	4, 18	eqeltrid 2292	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   F/wnf 1483   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   [.wsbc 2998   [_csb 3093   C_ wss 3166  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   CCcc 7925   1c1 7928   x. cmul 7932   prod_cprod 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-proddc 11895

This theorem is referenced by:  fprodreclf  11958  fprodclf  11979  fprodge0  11981  fprodge1  11983