Theorem fprodsplit 11607

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
2		fprodsplit.2	. 2 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3		fprodsplit.3	. 2 |- ( ph -> U e. Fin )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. A ) -> j e. A )
5	4	orcd 733	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
6		incom 3329	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
7	6, 1	eqtr3id 2224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B i^i A ) = (/) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> ( B i^i A ) = (/) )
9		disjel 3479	. . . . . . 7 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ j e. B ) -> -. j e. A )
10	8, 9	sylancom 420	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> -. j e. A )
11	10	olcd 734	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	2	eleq2d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> j e. ( A u. B ) )
14		elun 3278	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
16	5, 11, 15	mpjaodan 798	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
17		df-dc 835	. . . 4 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> DECID j e. A )
19	18	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
20		fprodsplit.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 11606	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   i^i cin 3130   (/)c0 3424  (class class class)co 5877   Fincfn 6742   CCcc 7811   x. cmul 7818   prod_cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  11632  fprodsplitf  11642