Theorem fprodsplit 12103

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
2		fprodsplit.2	. 2 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3		fprodsplit.3	. 2 |- ( ph -> U e. Fin )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. A ) -> j e. A )
5	4	orcd 738	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
6		incom 3396	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
7	6, 1	eqtr3id 2276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B i^i A ) = (/) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> ( B i^i A ) = (/) )
9		disjel 3546	. . . . . . 7 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ j e. B ) -> -. j e. A )
10	8, 9	sylancom 420	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> -. j e. A )
11	10	olcd 739	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ j e. B ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	2	eleq2d 2299	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> j e. ( A u. B ) )
14		elun 3345	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
16	5, 11, 15	mpjaodan 803	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
17		df-dc 840	. . . 4 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> DECID j e. A )
19	18	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
20		fprodsplit.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 12102	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   CCcc 7993   x. cmul 8000   prod_cprod 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  12128  fprodsplitf  12138  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem6  15740