Theorem fprodsplitf 12343

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 12308 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	|- F/ k ph
fprodsplitf.in	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitf.un	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
2		fprodsplitf.un	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3		fprodsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 |- F/ k ph
5		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
6	4, 5	nfan 1614	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
7		nfcsb1v 3174	. . . . . 6 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
8	7	nfel1 2397	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
9	6, 8	nfim 1621	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
10		eleq1w 2295	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
12		csbeq1a 3150	. . . . . 6 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
13	12	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
15		fprodsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
16	9, 14, 15	chvarfv 1748	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 12308	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( prod_ j e. A [_ j / k ]_ C x. prod_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
18		nfcv 2386	. . 3 |- F/_ j C
19	18, 7, 12	cbvprodi 12271	. 2 |- prod_ k e. U C = prod_ j e. U [_ j / k ]_ C
20	18, 7, 12	cbvprodi 12271	. . 3 |- prod_ k e. A C = prod_ j e. A [_ j / k ]_ C
21	18, 7, 12	cbvprodi 12271	. . 3 |- prod_ k e. B C = prod_ j e. B [_ j / k ]_ C
22	20, 21	oveq12i 6070	. 2 |- ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ j e. A [_ j / k ]_ C x. prod_ j e. B [_ j / k ]_ C )
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2292	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   F/wnf 1509   e. wcel 2205   [_csb 3141   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   x. cmul 8148   prod_cprod 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  12344  fprodsplit1f  12345