Theorem fprodsplitf 12138

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 12103 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	|- F/ k ph
fprodsplitf.in	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitf.un	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
2		fprodsplitf.un	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3		fprodsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 |- F/ k ph
5		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
6	4, 5	nfan 1611	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
7		nfcsb1v 3157	. . . . . 6 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
8	7	nfel1 2383	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
9	6, 8	nfim 1618	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
10		eleq1w 2290	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
12		csbeq1a 3133	. . . . . 6 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
13	12	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
15		fprodsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
16	9, 14, 15	chvarfv 1746	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 12103	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( prod_ j e. A [_ j / k ]_ C x. prod_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
18		nfcv 2372	. . 3 |- F/_ j C
19	18, 7, 12	cbvprodi 12066	. 2 |- prod_ k e. U C = prod_ j e. U [_ j / k ]_ C
20	18, 7, 12	cbvprodi 12066	. . 3 |- prod_ k e. A C = prod_ j e. A [_ j / k ]_ C
21	18, 7, 12	cbvprodi 12066	. . 3 |- prod_ k e. B C = prod_ j e. B [_ j / k ]_ C
22	20, 21	oveq12i 6012	. 2 |- ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ j e. A [_ j / k ]_ C x. prod_ j e. B [_ j / k ]_ C )
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2287	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   F/wnf 1506   e. wcel 2200   [_csb 3124   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   CCcc 7993   x. cmul 8000   prod_cprod 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  12139  fprodsplit1f  12140