Theorem fprodsplit 12074

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplit.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 737	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
6		incom 3376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
7	6, 1	eqtr3id 2256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
9		disjel 3526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
11	10	olcd 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	2	eleq2d 2279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		elun 3325	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
15	13, 14	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
16	5, 11, 15	mpjaodan 802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
17		df-dc 839	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	16, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	ralrimiva 2583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		fprodsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 12073	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ∪ cun 3175   ∩ cin 3176  ∅c0 3471  (class class class)co 5974  Fincfn 6857  ℂcc 7965   · cmul 7972  ∏cprod 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-proddc 12028

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  12099  fprodsplitf  12109  gausslemma2dlem4  15708  gausslemma2dlem6  15711