Theorem fprodsplit 12160

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplit.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
6		incom 3399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
7	6, 1	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
9		disjel 3549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
11	10	olcd 741	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	2	eleq2d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		elun 3348	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
15	13, 14	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
16	5, 11, 15	mpjaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
17		df-dc 842	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	16, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	ralrimiva 2605	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		fprodsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 12159	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  (class class class)co 6018  Fincfn 6909  ℂcc 8030   · cmul 8037  ∏cprod 12113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-proddc 12114

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  12185  fprodsplitf  12195  gausslemma2dlem4  15796  gausslemma2dlem6  15799