Theorem fprodsplit 11560

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplit.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
6		incom 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
7	6, 1	eqtr3id 2217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
9		disjel 3469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sylancom 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
11	10	olcd 729	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	2	eleq2d 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	12	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		elun 3268	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
15	13, 14	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
16	5, 11, 15	mpjaodan 793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
17		df-dc 830	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	16, 17	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		fprodsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 11559	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℂcc 7772   · cmul 7779  ∏cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  11585  fprodsplitf  11595