Theorem fprodsplit 11952

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplit.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
5	4	orcd 735	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
6		incom 3366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
7	6, 1	eqtr3id 2253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅)
9		disjel 3516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
11	10	olcd 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	2	eleq2d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		elun 3315	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
15	13, 14	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
16	5, 11, 15	mpjaodan 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
17		df-dc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	16, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		fprodsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	1, 2, 3, 19, 20	fprodsplitdc 11951	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3165   ∩ cin 3166  ∅c0 3461  (class class class)co 5951  Fincfn 6834  ℂcc 7930   · cmul 7937  ∏cprod 11905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-proddc 11906

This theorem is referenced by:  fprod2dlemstep  11977  fprodsplitf  11987  gausslemma2dlem4  15585  gausslemma2dlem6  15588