ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzltd GIF version

Theorem frec2uzltd 10421
Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 10417). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ω)
2 eleq2 2253 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
3 fveq2 5530 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
43breq2d 4030 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
52, 4imbi12d 234 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
7 eleq2 2253 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
8 fveq2 5530 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
98breq2d 4030 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
107, 9imbi12d 234 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
1110imbi2d 230 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
12 eleq2 2253 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
13 fveq2 5530 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1413breq2d 4030 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1512, 14imbi12d 234 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
17 eleq2 2253 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
18 fveq2 5530 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1918breq2d 4030 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2017, 19imbi12d 234 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2120imbi2d 230 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
22 noel 3441 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2322pm2.21i 647 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2423a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
25 id 19 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
26 fveq2 5530 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2825, 27orim12d 787 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
29 elsuc2g 4420 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
3029bicomd 141 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3130adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
3332adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
35 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ ω)
3633, 34, 35frec2uzsucd 10419 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3736breq2d 4030 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ω)
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ω)
4033, 34, 39frec2uzuzd 10420 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
4133, 34, 35frec2uzuzd 10420 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
42 eluzelz 9555 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
43 eluzelz 9555 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
44 zleltp1 9326 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4640, 41, 45syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4733, 34, 39frec2uzzd 10418 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4833, 34, 35frec2uzzd 10418 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
49 zleloe 9318 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5137, 46, 503bitr2rd 217 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5231, 51imbi12d 234 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5328, 52imbitrid 154 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5453ex 115 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5554a2d 26 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4614 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
571, 56mpcom 36 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  c0 3437   class class class wbr 4018  cmpt 4079  suc csuc 4380  ωcom 4604  cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409  1c1 7830   + caddc 7832   < clt 8010  cle 8011  cz 9271  cuz 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10422  frec2uzf1od  10424  ennnfonelemex  12433  ennnfonelemnn0  12441
  Copyright terms: Public domain W3C validator