Theorem frec2uzltd 10474

Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 10470). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
2		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
3		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘∅))
4	3	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))))
7		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
8		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
9	8	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))))
11	10	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))))
12		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
13		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
14	13	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
17		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
18		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
19	18	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
21	20	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))))
22		noel 3450	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
23	22	pm2.21i 647	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
25		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
26		fveq2 5554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)))
28	25, 27	orim12d 787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
29		elsuc2g 4436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦)))
30	29	bicomd 141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
35		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ ω)
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 10472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
37	36	breq2d 4041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ω)
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 10473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 10473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
42		eluzelz 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
43		eluzelz 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
44		zleltp1 9372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
46	40, 41, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
47	33, 34, 39	frec2uzzd 10471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
48	33, 34, 35	frec2uzzd 10471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
49		zleloe 9364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
51	37, 46, 50	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
52	31, 51	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
53	28, 52	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
54	53	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
55	54	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))) → (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4632	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
57	1, 56	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  suc csuc 4396  ωcom 4622  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443  1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10475  frec2uzf1od  10477  ennnfonelemex  12571  ennnfonelemnn0  12579