ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzltd GIF version

Theorem frec2uzltd 10169
Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 10165). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ω)
2 eleq2 2201 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
3 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
43breq2d 3936 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
52, 4imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
7 eleq2 2201 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
8 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
98breq2d 3936 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
107, 9imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
1110imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
12 eleq2 2201 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
13 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1413breq2d 3936 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1512, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1615imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
17 eleq2 2201 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
18 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1918breq2d 3936 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2017, 19imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2120imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
22 noel 3362 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2322pm2.21i 635 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2423a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
25 id 19 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
26 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2825, 27orim12d 775 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
29 elsuc2g 4322 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
3029bicomd 140 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3130adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
3332adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
35 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ ω)
3633, 34, 35frec2uzsucd 10167 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3736breq2d 3936 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ω)
3938adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ω)
4033, 34, 39frec2uzuzd 10168 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
4133, 34, 35frec2uzuzd 10168 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
42 eluzelz 9328 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
43 eluzelz 9328 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
44 zleltp1 9102 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4542, 43, 44syl2an 287 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4640, 41, 45syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4733, 34, 39frec2uzzd 10166 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4833, 34, 35frec2uzzd 10166 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
49 zleloe 9094 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5047, 48, 49syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5137, 46, 503bitr2rd 216 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5231, 51imbi12d 233 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5328, 52syl5ib 153 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5453ex 114 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5554a2d 26 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4509 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
571, 56mpcom 36 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  c0 3358   class class class wbr 3924  cmpt 3984  suc csuc 4282  ωcom 4499  cfv 5118  (class class class)co 5767  freccfrec 6280  1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793  cle 7794  cz 9047  cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10170  frec2uzf1od  10172  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemnn0  11924
  Copyright terms: Public domain W3C validator