ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzltd GIF version

Theorem frec2uzltd 9959
Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 9955). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ω)
2 eleq2 2158 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
3 fveq2 5340 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
43breq2d 3879 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
52, 4imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
7 eleq2 2158 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
8 fveq2 5340 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
98breq2d 3879 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
107, 9imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
1110imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
12 eleq2 2158 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
13 fveq2 5340 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1413breq2d 3879 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1512, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1615imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
17 eleq2 2158 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
18 fveq2 5340 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1918breq2d 3879 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2017, 19imbi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2120imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
22 noel 3306 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2322pm2.21i 613 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2423a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
25 id 19 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
26 fveq2 5340 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2825, 27orim12d 738 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
29 elsuc2g 4256 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
3029bicomd 140 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3130adantr 271 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
3332adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
35 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ ω)
3633, 34, 35frec2uzsucd 9957 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3736breq2d 3879 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ω)
3938adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ω)
4033, 34, 39frec2uzuzd 9958 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
4133, 34, 35frec2uzuzd 9958 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
42 eluzelz 9127 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
43 eluzelz 9127 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
44 zleltp1 8903 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4542, 43, 44syl2an 284 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4640, 41, 45syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4733, 34, 39frec2uzzd 9956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4833, 34, 35frec2uzzd 9956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
49 zleloe 8895 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5047, 48, 49syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5137, 46, 503bitr2rd 216 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5231, 51imbi12d 233 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5328, 52syl5ib 153 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5453ex 114 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5554a2d 26 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4443 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
571, 56mpcom 36 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667   = wceq 1296  wcel 1445  c0 3302   class class class wbr 3867  cmpt 3921  suc csuc 4216  ωcom 4433  cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619  cle 7620  cz 8848  cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9960  frec2uzf1od  9962
  Copyright terms: Public domain W3C validator