Theorem fsumcn 15564

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   k, J, x   k, K, x   k, X, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcn.3	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15535	. 2 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		fsumcn.4	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4		fsumcn.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fsumcn.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
6	2, 3, 4, 5	fsumcncntop 15563	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   |-> cmpt 4177   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Fincfn 6989   sum_csu 12068   TopOpenctopn 13542  ℂ_fldccnfld 14835  TopOnctopon 15006   Cn ccn 15181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264  ax-addf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6781  df-map 6898  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-sup 7289  df-inf 7290  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-xneg 10128  df-xadd 10129  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-ihash 11168  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994  df-sumdc 12069  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-starv 13394  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-unif 13402  df-rest 13543  df-topn 13544  df-topgen 13562  df-psmet 14822  df-xmet 14823  df-met 14824  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-fg 14828  df-metu 14829  df-cnfld 14836  df-top 14994  df-topon 15007  df-bases 15039  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-tx 15249

This theorem is referenced by:  plycn  15758