Theorem fzind2 10225

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9357 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind2.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind2.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind2.5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
fzind2.6	⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10002	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		anass 401	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
3		df-3an 980	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	3	anbi1i 458	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5		3anass 982	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	anbi2i 457	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
7	2, 4, 6	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	1, 7	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9		fzind2.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
10		fzind2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
11		fzind2.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12		fzind2.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
13		eluz2 9523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		fzind2.5	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
15	13, 14	sylbir 135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
16		3anass 982	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
17		elfzo 10135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
19	17, 18	syl6bir 164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3coml 1210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
22	21	impr 379	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))) → (𝜒 → 𝜃))
23	16, 22	sylan2b 287	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 9357	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
25	8, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   ≤ cle 7983  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995  ..^cfzo 10128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129

This theorem is referenced by:  exfzdc  10226  seq3clss  10453  seq3caopr3  10467  seq3f1olemp  10488  seq3id3  10493  ser3ge0  10503  prodfap0  11537  prodfrecap  11538  eulerthlemrprm  12212  eulerthlema  12213  nninfdclemlt  12435