ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzowrddc Unicode version
Theorem fzowrddc 11200
Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)
Assertion
Ref Expression
fzowrddc |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Proof of Theorem fzowrddc
StepHypRef Expression
1 0z 9473 . . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2 simpl2 1025 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F e. ZZ )
3 zdcle 9539 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID 0 <_ F )
41, 2, 3sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID 0 <_ F )
5 simpl3 1026 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> L e. ZZ )
6 lencl 11093 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0zd 9583 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
873ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
10 zdcle 9539 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
115, 9, 10syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
124, 11dcand 938 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
13 0zd 9474 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> 0 e. ZZ )
14 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F < L )
15 ssfzo12bi 10448 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
162, 5, 13, 9, 14, 15syl221anc 1282 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1716dcbid 843 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1812, 17mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19 fzonlt0 10382 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
20193adant1 1039 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
2120biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) = (/) )
22 0ss 3530 . . . . . 6 |- (/) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) )
2321, 22eqsstrdi 3276 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2423orcd 738 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
25 df-dc 840 . . . 4 |- (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
2624, 25sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27 zdclt 9540 . . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
28273adant1 1039 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
29 exmiddc 841 . . . 4 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3028, 29syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3118, 26, 30mpjaodan 803 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
32 wrddm 11097 . . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
33323ad2ant1 1042 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
3433sseq2d 3254 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom S <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3534dcbid 843 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ dom S <-> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3631, 35mpbird 167 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   dom cdm 4720   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   0cc0 8015   < clt 8197   <_ cle 8198   ZZcz 9462  ..^cfzo 10355  ♯chash 11014  Word cword 11089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-ihash 11015  df-word 11090
This theorem is referenced by:  swrdclg  11203
  Copyright terms: Public domain W3C validator