ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzowrddc Unicode version
Theorem fzowrddc 11194
Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)
Assertion
Ref Expression
fzowrddc |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Proof of Theorem fzowrddc
StepHypRef Expression
1 0z 9468 . . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2 simpl2 1025 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F e. ZZ )
3 zdcle 9534 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID 0 <_ F )
41, 2, 3sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID 0 <_ F )
5 simpl3 1026 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> L e. ZZ )
6 lencl 11088 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0zd 9578 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
873ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
10 zdcle 9534 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
115, 9, 10syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
124, 11dcand 938 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
13 0zd 9469 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> 0 e. ZZ )
14 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F < L )
15 ssfzo12bi 10443 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
162, 5, 13, 9, 14, 15syl221anc 1282 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1716dcbid 843 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1812, 17mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19 fzonlt0 10377 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
20193adant1 1039 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
2120biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) = (/) )
22 0ss 3530 . . . . . 6 |- (/) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) )
2321, 22eqsstrdi 3276 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2423orcd 738 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
25 df-dc 840 . . . 4 |- (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
2624, 25sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27 zdclt 9535 . . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
28273adant1 1039 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
29 exmiddc 841 . . . 4 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3028, 29syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3118, 26, 30mpjaodan 803 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
32 wrddm 11092 . . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
33323ad2ant1 1042 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
3433sseq2d 3254 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom S <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3534dcbid 843 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ dom S <-> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3631, 35mpbird 167 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   0cc0 8010   < clt 8192   <_ cle 8193   ZZcz 9457  ..^cfzo 10350  ♯chash 11009  Word cword 11084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-ihash 11010  df-word 11085
This theorem is referenced by:  swrdclg  11197
  Copyright terms: Public domain W3C validator