ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzowrddc Unicode version
Theorem fzowrddc 11441
Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)
Assertion
Ref Expression
fzowrddc |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Proof of Theorem fzowrddc
StepHypRef Expression
1 0z 9666 . . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2 simpl2 1032 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F e. ZZ )
3 zdcle 9732 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID 0 <_ F )
41, 2, 3sylancr 418 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID 0 <_ F )
5 simpl3 1033 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> L e. ZZ )
6 lencl 11330 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0zd 9777 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
873ad2ant1 1049 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
10 zdcle 9732 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
115, 9, 10syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
124, 11dcand 945 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
13 0zd 9667 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> 0 e. ZZ )
14 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F < L )
15 ssfzo12bi 10660 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
162, 5, 13, 9, 14, 15syl221anc 1289 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1716dcbid 850 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1812, 17mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19 fzonlt0 10593 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
20193adant1 1046 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
2120biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) = (/) )
22 0ss 3561 . . . . . 6 |- (/) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) )
2321, 22eqsstrdi 3300 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2423orcd 745 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
25 df-dc 847 . . . 4 |- (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
2624, 25sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27 zdclt 9733 . . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
28273adant1 1046 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
29 exmiddc 848 . . . 4 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3028, 29syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3118, 26, 30mpjaodan 810 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
32 wrddm 11334 . . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
33323ad2ant1 1049 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
3433sseq2d 3278 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom S <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3534dcbid 850 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ dom S <-> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3631, 35mpbird 167 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327
This theorem is used by:  swrdclg  11444
  Copyright terms: Public domain W3C validator