ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzowrddc Unicode version
Theorem fzowrddc 11364
Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)
Assertion
Ref Expression
fzowrddc |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Proof of Theorem fzowrddc
StepHypRef Expression
1 0z 9605 . . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2 simpl2 1028 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F e. ZZ )
3 zdcle 9671 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID 0 <_ F )
41, 2, 3sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID 0 <_ F )
5 simpl3 1029 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> L e. ZZ )
6 lencl 11253 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0zd 9716 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
873ad2ant1 1045 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
10 zdcle 9671 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
115, 9, 10syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
124, 11dcand 941 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
13 0zd 9606 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> 0 e. ZZ )
14 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F < L )
15 ssfzo12bi 10592 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
162, 5, 13, 9, 14, 15syl221anc 1285 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1716dcbid 846 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1812, 17mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19 fzonlt0 10525 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
20193adant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
2120biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) = (/) )
22 0ss 3551 . . . . . 6 |- (/) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) )
2321, 22eqsstrdi 3294 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2423orcd 741 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
25 df-dc 843 . . . 4 |- (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
2624, 25sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27 zdclt 9672 . . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
28273adant1 1042 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
29 exmiddc 844 . . . 4 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3028, 29syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3118, 26, 30mpjaodan 806 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
32 wrddm 11257 . . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
33323ad2ant1 1045 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
3433sseq2d 3272 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom S <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3534dcbid 846 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ dom S <-> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3631, 35mpbird 167 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   (/)c0 3512   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250
This theorem is referenced by:  swrdclg  11367
  Copyright terms: Public domain W3C validator