ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzowrddc Unicode version
Theorem fzowrddc 11397
Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)
Assertion
Ref Expression
fzowrddc |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Proof of Theorem fzowrddc
StepHypRef Expression
1 0z 9634 . . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2 simpl2 1032 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F e. ZZ )
3 zdcle 9700 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID 0 <_ F )
41, 2, 3sylancr 418 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID 0 <_ F )
5 simpl3 1033 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> L e. ZZ )
6 lencl 11286 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0zd 9745 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
873ad2ant1 1049 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
10 zdcle 9700 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
115, 9, 10syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID L <_ (♯ ` S ) )
124, 11dcand 945 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
13 0zd 9635 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> 0 e. ZZ )
14 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> F < L )
15 ssfzo12bi 10621 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
162, 5, 13, 9, 14, 15syl221anc 1289 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1716dcbid 850 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> DECID ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
1812, 17mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19 fzonlt0 10554 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
20193adant1 1046 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
2120biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) = (/) )
22 0ss 3561 . . . . . 6 |- (/) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) )
2321, 22eqsstrdi 3300 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2423orcd 745 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
25 df-dc 847 . . . 4 |- (DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) \/ -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
2624, 25sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27 zdclt 9701 . . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
28273adant1 1046 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
29 exmiddc 848 . . . 4 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3028, 29syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
3118, 26, 30mpjaodan 810 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
32 wrddm 11290 . . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
33323ad2ant1 1049 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
3433sseq2d 3278 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom S <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3534dcbid 850 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (DECID ( F..^ L ) C_ dom S <-> DECID ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3631, 35mpbird 167 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   < clt 8350   <_ cle 8351   ZZcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283
This theorem is referenced by:  swrdclg  11400
  Copyright terms: Public domain W3C validator