Theorem gausslemma2dlem0f 16295

Description: Auxiliary lemma 6 for gausslemma2d 16310. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2dlem0.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0f	|- ( ph -> ( M + 1 ) <_ H )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		eldifsn 3841	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
3		prm23ge5 13065	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
4		eqneqall 2430	. . . . . . 7 |- ( P = 2 -> ( P =/= 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
5		orc 724	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
6	5	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P =/= 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
7		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
8	7	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P =/= 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
9	4, 6, 8	3jaoi 1344	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( P =/= 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P =/= 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
12	2, 11	sylbi 121	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
13		fldiv4p1lem1div2 10754	. . 3 |- ( ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
14	1, 12, 13	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
15		gausslemma2dlem0.m	. . 3 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
16	15	oveq1i 6095	. 2 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
17		gausslemma2dlem0.h	. 2 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
18	14, 16, 17	3brtr4g 4164	1 |- ( ph -> ( M + 1 ) <_ H )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   <_ cle 8362   - cmin 8499   / cdiv 9005   2c2 9358   3c3 9359   4c4 9360   5c5 9361   ZZ>=cuz 9931   |_cfl 10714   Primecprime 12903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fl 10716  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-dvds 12573  df-prm 12904

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5  16307