Theorem gausslemma2dlem0f 15305

Description: Auxiliary lemma 6 for gausslemma2d 15320. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0f	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifsn 3750	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
3		prm23ge5 12443	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
4		eqneqall 2377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
5		orc 713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
6	5	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
7		olc 712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
8	7	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
9	4, 6, 8	3jaoi 1314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
11	10	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
12	2, 11	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
13		fldiv4p1lem1div2 10397	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
14	1, 12, 13	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
15		gausslemma2dlem0.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16	15	oveq1i 5933	. 2 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
17		gausslemma2dlem0.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
18	14, 16, 17	3brtr4g 4068	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3623   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  1c1 7882   + caddc 7884   ≤ cle 8064   − cmin 8199   / cdiv 8701  2c2 9043  3c3 9044  4c4 9045  5c5 9046  ℤ_≥cuz 9603  ⌊cfl 10360  ℙcprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-er 6593  df-en 6801  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fl 10362  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-prm 12286

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15317