Theorem lgslem2 16120

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 contains { -u 1 , 0 , 1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	|- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 9676	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		1le1 8900	. . 3 |- 1 <_ 1
3		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` -u 1 ) )
4		ax-1cn 8272	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
5	4	absnegi 11913	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
6		abs1 11838	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
7	5, 6	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
9	8	breq1d 4140	. . . 4 |- ( x = -u 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
10		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
11	9, 10	elrab2 2985	. . 3 |- ( -u 1 e. Z <-> ( -u 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
12	1, 2, 11	mpbir2an 955	. 2 |- -u 1 e. Z
13		0z 9655	. . 3 |- 0 e. ZZ
14		0le1 8809	. . 3 |- 0 <_ 1
15		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 0 ) )
16		abs0 11824	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = 0 )
18	17	breq1d 4140	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 0 <_ 1 ) )
19	18, 10	elrab2 2985	. . 3 |- ( 0 e. Z <-> ( 0 e. ZZ /\ 0 <_ 1 ) )
20	13, 14, 19	mpbir2an 955	. 2 |- 0 e. Z
21		1z 9670	. . 3 |- 1 e. ZZ
22		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
23	22, 6	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
24	23	breq1d 4140	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
25	24, 10	elrab2 2985	. . 3 |- ( 1 e. Z <-> ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
26	21, 2, 25	mpbir2an 955	. 2 |- 1 e. Z
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1206	1 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

This proof depends on syntax axioms:   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   0cc0 8179   1c1 8180   <_ cle 8361   -ucneg 8498   ZZcz 9644   abscabs 11763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  lgslem4  16122  lgscllem  16126