Theorem lgslem2 15478

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 contains { -u 1 , 0 , 1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	|- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 9404	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		1le1 8645	. . 3 |- 1 <_ 1
3		fveq2 5576	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` -u 1 ) )
4		ax-1cn 8018	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
5	4	absnegi 11458	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
6		abs1 11383	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
7	5, 6	eqtri 2226	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
9	8	breq1d 4054	. . . 4 |- ( x = -u 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
10		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
11	9, 10	elrab2 2932	. . 3 |- ( -u 1 e. Z <-> ( -u 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
12	1, 2, 11	mpbir2an 945	. 2 |- -u 1 e. Z
13		0z 9383	. . 3 |- 0 e. ZZ
14		0le1 8554	. . 3 |- 0 <_ 1
15		fveq2 5576	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 0 ) )
16		abs0 11369	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = 0 )
18	17	breq1d 4054	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 0 <_ 1 ) )
19	18, 10	elrab2 2932	. . 3 |- ( 0 e. Z <-> ( 0 e. ZZ /\ 0 <_ 1 ) )
20	13, 14, 19	mpbir2an 945	. 2 |- 0 e. Z
21		1z 9398	. . 3 |- 1 e. ZZ
22		fveq2 5576	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
23	22, 6	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
24	23	breq1d 4054	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
25	24, 10	elrab2 2932	. . 3 |- ( 1 e. Z <-> ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
26	21, 2, 25	mpbir2an 945	. 2 |- 1 e. Z
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1178	1 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Syntax hints:   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   0cc0 7925   1c1 7926   <_ cle 8108   -ucneg 8244   ZZcz 9372   abscabs 11308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  lgslem4  15480  lgscllem  15484