Theorem lgslem2 15117

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 contains { -u 1 , 0 , 1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	|- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 9349	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		1le1 8591	. . 3 |- 1 <_ 1
3		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` -u 1 ) )
4		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
5	4	absnegi 11291	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
6		abs1 11216	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
7	5, 6	eqtri 2214	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
9	8	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x = -u 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
10		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
11	9, 10	elrab2 2919	. . 3 |- ( -u 1 e. Z <-> ( -u 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
12	1, 2, 11	mpbir2an 944	. 2 |- -u 1 e. Z
13		0z 9328	. . 3 |- 0 e. ZZ
14		0le1 8500	. . 3 |- 0 <_ 1
15		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 0 ) )
16		abs0 11202	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = 0 )
18	17	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 0 <_ 1 ) )
19	18, 10	elrab2 2919	. . 3 |- ( 0 e. Z <-> ( 0 e. ZZ /\ 0 <_ 1 ) )
20	13, 14, 19	mpbir2an 944	. 2 |- 0 e. Z
21		1z 9343	. . 3 |- 1 e. ZZ
22		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
23	22, 6	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
24	23	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
25	24, 10	elrab2 2919	. . 3 |- ( 1 e. Z <-> ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
26	21, 2, 25	mpbir2an 944	. 2 |- 1 e. Z
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1177	1 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   0cc0 7872   1c1 7873   <_ cle 8055   -ucneg 8191   ZZcz 9317   abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  lgslem4  15119  lgscllem  15123