Theorem lgslem2 15593

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 contains { -u 1 , 0 , 1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	|- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 9439	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		1le1 8680	. . 3 |- 1 <_ 1
3		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` -u 1 ) )
4		ax-1cn 8053	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
5	4	absnegi 11573	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
6		abs1 11498	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
7	5, 6	eqtri 2228	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( x = -u 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
9	8	breq1d 4069	. . . 4 |- ( x = -u 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
10		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
11	9, 10	elrab2 2939	. . 3 |- ( -u 1 e. Z <-> ( -u 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
12	1, 2, 11	mpbir2an 945	. 2 |- -u 1 e. Z
13		0z 9418	. . 3 |- 0 e. ZZ
14		0le1 8589	. . 3 |- 0 <_ 1
15		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 0 ) )
16		abs0 11484	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = 0 )
18	17	breq1d 4069	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 0 <_ 1 ) )
19	18, 10	elrab2 2939	. . 3 |- ( 0 e. Z <-> ( 0 e. ZZ /\ 0 <_ 1 ) )
20	13, 14, 19	mpbir2an 945	. 2 |- 0 e. Z
21		1z 9433	. . 3 |- 1 e. ZZ
22		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
23	22, 6	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
24	23	breq1d 4069	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
25	24, 10	elrab2 2939	. . 3 |- ( 1 e. Z <-> ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 1 ) )
26	21, 2, 25	mpbir2an 945	. 2 |- 1 e. Z
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1178	1 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )

Syntax hints:   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   0cc0 7960   1c1 7961   <_ cle 8143   -ucneg 8279   ZZcz 9407   abscabs 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  lgslem4  15595  lgscllem  15599