Theorem lgslem2 15553

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 9424	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		1le1 8665	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
3		fveq2 5589	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4		ax-1cn 8038	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	absnegi 11533	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
6		abs1 11458	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
7	5, 6	eqtri 2227	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
9	8	breq1d 4061	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
11	9, 10	elrab2 2936	. . 3 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
12	1, 2, 11	mpbir2an 945	. 2 ⊢ -1 ∈ 𝑍
13		0z 9403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		0le1 8574	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 5589	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16		abs0 11444	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
18	17	breq1d 4061	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18, 10	elrab2 2936	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
20	13, 14, 19	mpbir2an 945	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝑍
21		1z 9418	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		fveq2 5589	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
23	22, 6	eqtrdi 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 4061	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 10	elrab2 2936	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	21, 2, 25	mpbir2an 945	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑍
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1178	1 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  0cc0 7945  1c1 7946   ≤ cle 8128  -cneg 8264  ℤcz 9392  abscabs 11383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385

This theorem is referenced by:  lgslem4  15555  lgscllem  15559