ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgslem2 GIF version

Theorem lgslem2 14069
Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem2 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 9274 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 1le1 8519 . . 3 1 ≤ 1
3 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4 ax-1cn 7895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
54absnegi 11140 . . . . . . 7 (abs‘-1) = (abs‘1)
6 abs1 11065 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
75, 6eqtri 2198 . . . . . 6 (abs‘-1) = 1
83, 7eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
98breq1d 4010 . . . 4 (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
119, 10elrab2 2896 . . 3 (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
121, 2, 11mpbir2an 942 . 2 -1 ∈ 𝑍
13 0z 9253 . . 3 0 ∈ ℤ
14 0le1 8428 . . 3 0 ≤ 1
15 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16 abs0 11051 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
1817breq1d 4010 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918, 10elrab2 2896 . . 3 (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
2013, 14, 19mpbir2an 942 . 2 0 ∈ 𝑍
21 1z 9268 . . 3 1 ∈ ℤ
22 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
2322, 6eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
2423breq1d 4010 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
2524, 10elrab2 2896 . . 3 (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
2621, 2, 25mpbir2an 942 . 2 1 ∈ 𝑍
2712, 20, 263pm3.2i 1175 1 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4000  cfv 5212  0cc0 7802  1c1 7803  cle 7983  -cneg 8119  cz 9242  abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  lgslem4  14071  lgscllem  14075
  Copyright terms: Public domain W3C validator