Theorem m1dvdsndvds 12240

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, the integer itself is not divisible by this prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1dvdsndvds	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( P || ( A - 1 ) -> -. P || A ) )

Proof of Theorem m1dvdsndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0 8983	. . . . 5 |- 1 =/= 0
2	1	neii 2349	. . . 4 |- -. 1 = 0
3		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( 1 = ( A mod P ) -> ( 1 = 0 <-> ( A mod P ) = 0 ) )
4	3	eqcoms 2180	. . . 4 |- ( ( A mod P ) = 1 -> ( 1 = 0 <-> ( A mod P ) = 0 ) )
5	2, 4	mtbii 674	. . 3 |- ( ( A mod P ) = 1 -> -. ( A mod P ) = 0 )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod P ) = 1 -> -. ( A mod P ) = 0 ) )
7		modprm1div 12239	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod P ) = 1 <-> P || ( A - 1 ) ) )
8		prmnn 12102	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		dvdsval3 11791	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ ) -> ( P || A <-> ( A mod P ) = 0 ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( P || A <-> ( A mod P ) = 0 ) )
11	10	bicomd 141	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod P ) = 0 <-> P || A ) )
12	11	notbid 667	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. ( A mod P ) = 0 <-> -. P || A ) )
13	6, 7, 12	3imtr3d 202	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( P || ( A - 1 ) -> -. P || A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   0cc0 7808   1c1 7809   - cmin 8124   NNcn 8915   ZZcz 9249   mod cmo 10317   || cdvds 11787   Primecprime 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-1o 6414  df-2o 6415  df-er 6532  df-en 6738  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-mod 10318  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-dvds 11788  df-prm 12100

This theorem is referenced by:  powm2modprm  12244