Theorem m1dvdsndvds 12191

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, the integer itself is not divisible by this prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1dvdsndvds	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem m1dvdsndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0 8935	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2342	. . . 4 ⊢ ¬ 1 = 0
3		eqeq1 2177	. . . . 5 ⊢ (1 = (𝐴 mod 𝑃) → (1 = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
4	3	eqcoms 2173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑃) = 1 → (1 = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
5	2, 4	mtbii 669	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑃) = 1 → ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 → ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
7		modprm1div 12190	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
8		prmnn 12053	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		dvdsval3 11742	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
10	8, 9	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
11	10	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
12	11	notbid 662	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
13	6, 7, 12	3imtr3d 201	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  0cc0 7763  1c1 7764   − cmin 8079  ℕcn 8867  ℤcz 9201   mod cmo 10267   ∥ cdvds 11738  ℙcprime 12050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-prm 12051

This theorem is referenced by:  powm2modprm  12195