Theorem hoverlt1 15366

Description: The hover function evaluated at a point less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hoverlt1	|- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( F ` C ) <_ 0 )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hoverlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		preq1 3746	. . . . . 6 |- ( x = C -> { x , 0 } = { C , 0 } )
3	2	infeq1d 7205	. . . . 5 |- ( x = C -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { C , 0 } , RR , < ) )
4		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x - 1 ) = ( C - 1 ) )
5	3, 4	preq12d 3754	. . . 4 |- ( x = C -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } )
6	5	supeq1d 7180	. . 3 |- ( x = C -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
7		simpl 109	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> C e. RR )
8		0red 8173	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> 0 e. RR )
9		mincl 11785	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
11		peano2rem 8439	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( C - 1 ) e. RR )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( C - 1 ) e. RR )
13		maxcl 11764	. . . 4 |- ( (inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5736	. 2 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( F ` C ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
16		min2inf 11787	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) <_ 0 )
17	7, 8, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) <_ 0 )
18		1red 8187	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> 1 e. RR )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> C < 1 )
20	7, 18, 19	ltled 8291	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> C <_ 1 )
21	7, 18	suble0d 8709	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( ( C - 1 ) <_ 0 <-> C <_ 1 ) )
22	20, 21	mpbird 167	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( C - 1 ) <_ 0 )
23		maxleastb 11768	. . . 4 |- ( (inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) <_ 0 <-> (inf ( { C , 0 } , RR , < ) <_ 0 /\ ( C - 1 ) <_ 0 ) ) )
24	10, 12, 8, 23	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) <_ 0 <-> (inf ( { C , 0 } , RR , < ) <_ 0 /\ ( C - 1 ) <_ 0 ) ) )
25	17, 22, 24	mpbir2and 950	. 2 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) <_ 0 )
26	15, 25	eqbrtrd 4108	1 |- ( ( C e. RR /\ C < 1 ) -> ( F ` C ) <_ 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3668   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   supcsup 7175  infcinf 7176   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   < clt 8207   <_ cle 8208   - cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-rp 9882  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15368