Theorem modqge0 10571

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqge0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2	1	gt0ne0d 8675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
3		qdivcl 9855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
4	2, 3	syld3an3 1316	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
5		flqle 10515	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
7	4	flqcld 10514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
8	7	zred 9585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
9		qre 9837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		qre 9837	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		lemuldiv2 9045	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
14	8, 10, 12, 1, 13	syl112anc 1275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
15	6, 14	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ≤ 𝐴)
16	12, 8	remulcld 8193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
17	10, 16	subge0d 8698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ↔ (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ≤ 𝐴))
18	15, 17	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
19		modqval 10563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
20	18, 19	breqtrrd 4111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333   / cdiv 8835  ℚcq 9831  ⌊cfl 10505   mod cmo 10561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562

This theorem is referenced by:  modqelico  10573  zmodcl  10583  modqid2  10590  modqabs  10596  modqmuladdim  10606  modqltm1p1mod  10615  modqsubdir  10632  modqeqmodmin  10633  bitsinv1lem  12493  4sqlem6  12927