ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopni2 Unicode version

Theorem mopni2 12579
Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopni2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, J    x, P    x, X

Proof of Theorem mopni2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopni 12578 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. y  e.  ran  ( ball `  D
) ( P  e.  y  /\  y  C_  A ) )
31mopnss 12546 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J
)  ->  A  C_  X
)
43sselda 3067 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  X )
5 blssex 12526 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( P  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
) )
65adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D )
( P  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  A ) )
74, 6syldan 280 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  A )  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D )
( P  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  A ) )
873impa 1161 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( P  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
) )
92, 8mpbid 146 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394    C_ wss 3041   ran crn 4510   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RR+crp 9409   *Metcxmet 12076   ballcbl 12078   MetOpencmopn 12081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-xneg 9527  df-xadd 9528  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-topgen 12068  df-psmet 12083  df-xmet 12084  df-bl 12086  df-mopn 12087  df-top 12092  df-topon 12105  df-bases 12137
This theorem is referenced by:  mopni3  12580  neibl  12587  xmettx  12606  metcnp3  12607
  Copyright terms: Public domain W3C validator