Theorem mopni2 12843

Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopni2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, J   x, P   x, X

Proof of Theorem mopni2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopni 12842	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> E. y e. ran ( ball ` D ) ( P e. y /\ y C_ A ) )
3	1	mopnss 12810	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )
4	3	sselda 3128	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) /\ P e. A ) -> P e. X )
5		blssex 12790	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. ran ( ball ` D ) ( P e. y /\ y C_ A ) <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
6	5	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. ran ( ball ` D ) ( P e. y /\ y C_ A ) <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
7	4, 6	syldan 280	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) /\ P e. A ) -> ( E. y e. ran ( ball ` D ) ( P e. y /\ y C_ A ) <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
8	7	3impa 1177	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> ( E. y e. ran ( ball ` D ) ( P e. y /\ y C_ A ) <-> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
9	2, 8	mpbid 146	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   C_ wss 3102   ran crn 4584   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RR+crp 9542   *Metcxmet 12340   ballcbl 12342   MetOpencmopn 12345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401

This theorem is referenced by:  mopni3  12844  neibl  12851  xmettx  12870  metcnp3  12871