Theorem mopni3 14069

Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopni3	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, J   x, R   x, P   x, X

Proof of Theorem mopni3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopni2 14068	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A )
4		simp1 997	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	1	mopnss 14035	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )
6	5	sselda 3157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) /\ P e. A ) -> P e. X )
7	6	3impa 1194	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> P e. X )
8	4, 7	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) )
9		ssblex 14016	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ ( R e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
11	10	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
12		sstr 3165	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) /\ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A ) -> ( P ( ball ` D ) x ) C_ A )
13	12	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) -> ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
14	13	anim2d 337	. . . . 5 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) -> ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
15	14	reximdv 2578	. . . 4 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
16	11, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
17	16	rexlimdva 2594	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
18	3, 17	mpd 13	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   < clt 7994   RR+crp 9655   *Metcxmet 13525   ballcbl 13527   MetOpencmopn 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628

This theorem is referenced by:  limcimolemlt  14218