Theorem mopni3 13555

Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopni3	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, J   x, R   x, P   x, X

Proof of Theorem mopni3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopni2 13554	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A )
4		simp1 997	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	1	mopnss 13521	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )
6	5	sselda 3153	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J ) /\ P e. A ) -> P e. X )
7	6	3impa 1194	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> P e. X )
8	4, 7	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) -> ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) )
9		ssblex 13502	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ ( R e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
11	10	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) )
12		sstr 3161	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) /\ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A ) -> ( P ( ball ` D ) x ) C_ A )
13	12	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) -> ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )
14	13	anim2d 337	. . . . 5 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) -> ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
15	14	reximdv 2576	. . . 4 |- ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> ( E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ ( P ( ball ` D ) y ) ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
16	11, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
17	16	rexlimdva 2592	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( P ( ball ` D ) y ) C_ A -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) ) )
18	3, 17	mpd 13	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. J /\ P e. A ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. RR+ ( x < R /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   C_ wss 3127   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   < clt 7966   RR+crp 9624   *Metcxmet 13051   ballcbl 13053   MetOpencmopn 13056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112

This theorem is referenced by:  limcimolemlt  13704