ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptcmulcn Unicode version

Theorem dvmptcmulcn 12861
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcmulcn.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
dvmptcmulcn.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  V )
dvmptcmulcn.da  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  A ) )  =  ( x  e.  CC  |->  B ) )
dvmptcmulcn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvmptcmulcn  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( C  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, V    ph, x    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcmulcn
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 7763 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 dvmptcmulcn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
43adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
5 0cnd 7766 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
63dvmptccn 12857 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  C ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
7 ssidd 3118 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
8 dvmptcmulcn.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
9 dvmptcmulcn.b . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  V )
10 dvmptcmulcn.da . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  A ) )  =  ( x  e.  CC  |->  B ) )
112, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dvmptmulx 12860 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) ) ) )
128mul02d 8161 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  x.  A )  =  0 )
1312oveq1d 5789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) )  =  ( 0  +  ( B  x.  C ) ) )
142, 8, 9, 10, 7dvmptclx 12858 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1514, 4mulcld 7793 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
1615addid2d 7919 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( B  x.  C ) )  =  ( B  x.  C
) )
1714, 4mulcomd 7794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B
) )
1813, 16, 173eqtrd 2176 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) )  =  ( C  x.  B
) )
1918mpteq2dva 4018 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( C  x.  B ) ) )
2011, 19eqtrd 2172 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cpr 3528    |-> cmpt 3989  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    x. cmul 7632    _D cdv 12802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-rest 12131  df-topgen 12150  df-psmet 12165  df-xmet 12166  df-met 12167  df-bl 12168  df-mopn 12169  df-top 12174  df-topon 12187  df-bases 12219  df-ntr 12274  df-cn 12366  df-cnp 12367  df-tx 12431  df-cncf 12736  df-limced 12803  df-dvap 12804
This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  12862
  Copyright terms: Public domain W3C validator