Theorem dvmptcmulcn 14536

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
dvmptcmulcn.b	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
dvmptcmulcn.da	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
dvmptcmulcn.c	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmulcn	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( C x. A ) ) ) = ( x e. CC |-> ( C x. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   ph, x   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptcmulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 7961	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
3		dvmptcmulcn.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
5		0cnd 7964	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
6	3	dvmptccn 14532	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
7		ssidd 3188	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
8		dvmptcmulcn.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
9		dvmptcmulcn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
10		dvmptcmulcn.da	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
11	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dvmptmulx 14535	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( C x. A ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( 0 x. A ) + ( B x. C ) ) ) )
12	8	mul02d 8363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( 0 x. A ) = 0 )
13	12	oveq1d 5903	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( 0 x. A ) + ( B x. C ) ) = ( 0 + ( B x. C ) ) )
14	2, 8, 9, 10, 7	dvmptclx 14533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. CC )
15	14, 4	mulcld 7992	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
16	15	addid2d 8121	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( 0 + ( B x. C ) ) = ( B x. C ) )
17	14, 4	mulcomd 7993	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
18	13, 16, 17	3eqtrd 2224	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( 0 x. A ) + ( B x. C ) ) = ( C x. B ) )
19	18	mpteq2dva 4105	. 2 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( 0 x. A ) + ( B x. C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( C x. B ) ) )
20	11, 19	eqtrd 2220	1 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( C x. A ) ) ) = ( x e. CC |-> ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   {cpr 3605   |-> cmpt 4076  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   + caddc 7828   x. cmul 7830   _D cdv 14477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6097  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-met 13788  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-ntr 13949  df-cn 14041  df-cnp 14042  df-tx 14106  df-cncf 14411  df-limced 14478  df-dvap 14479

This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  14537