Theorem mulgnn 13380

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgnn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnn.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulgnn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		mulgnn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13376	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
9	1, 8	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10		nnne0 9046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	10	neneqd 2396	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
12	11	iffalsed 3580	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13		nngt0 9043	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	13	iftrued 3577	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆‘𝑁))
15	12, 14	eqtrd 2237	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
16	15	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
17	9, 16	eqtrd 2237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ifcif 3570  {csn 3632   class class class wbr 4043   × cxp 4671  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  0cc0 7907  1c1 7908   < clt 8089  -cneg 8226  ℕcn 9018  ℤcz 9354  seqcseq 10573  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  0_gc0g 13006  inv_gcminusg 13251  ._gcmg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-seqfrec 10574  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-minusg 13254  df-mulg 13374

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  13381  mulg1  13383  mulgnnp1  13384  mulgnegnn  13386  mulgnnsubcl  13388  mulgnn0z  13403  mulgnndir  13405  submmulg  13420  subgmulg  13442