Theorem mulgnn 13196

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9336	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgnn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnn.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulgnn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		mulgnn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13192	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
9	1, 8	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10		nnne0 9010	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	10	neneqd 2385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
12	11	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13		nngt0 9007	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	13	iftrued 3564	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆‘𝑁))
15	12, 14	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
16	15	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
17	9, 16	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029   × cxp 4657  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   < clt 8054  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℤcz 9317  seqcseq 10518  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  inv_gcminusg 13073  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  13197  mulg1  13199  mulgnnp1  13200  mulgnegnn  13202  mulgnnsubcl  13204  mulgnn0z  13219  mulgnndir  13221  submmulg  13236  subgmulg  13258