Theorem oddpwdclemdvds 12351

Description: Lemma for oddpwdc 12355. A natural number is divisible by the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemdvds	|- ( A e. NN -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A )

Distinct variable group:   z, A

Proof of Theorem oddpwdclemdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12347	. 2 |- ( A e. NN -> E. z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
2		nfv 1542	. . 3 |- F/ z A e. NN
3		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ z 2
4		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ z ^
5		nfriota1 5888	. . . . 5 |- F/_ z ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
6	3, 4, 5	nfov 5955	. . . 4 |- F/_ z ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) )
7		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ z ||
8		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ z A
9	6, 7, 8	nfbr 4080	. . 3 |- F/ z ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A
10		pw2dvdseu 12349	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> E! z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
11		riota1 5899	. . . . . . . 8 |- ( E! z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> ( ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) <-> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) <-> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z )
14	13	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) = ( 2 ^ z ) )
15		simprrl 539	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( 2 ^ z ) || A )
16	14, 15	eqbrtrd 4056	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A )
17	16	exp32 365	. . 3 |- ( A e. NN -> ( z e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A ) ) )
18	2, 9, 17	rexlimd 2611	. 2 |- ( A e. NN -> ( E. z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A ) )
19	1, 18	mpd 13	1 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   E!wreu 2477   class class class wbr 4034   iota_crio 5879  (class class class)co 5925   1c1 7885   + caddc 7887   NNcn 8995   2c2 9046   NN0cn0 9254   ^cexp 10635   || cdvds 11957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002  ax-arch 8003

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-frec 6453  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-inn 8996  df-2 9054  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-q 9699  df-rp 9734  df-fz 10089  df-fl 10365  df-mod 10420  df-seqfrec 10545  df-exp 10636  df-dvds 11958

This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  12353  oddpwdclemdc  12354