ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdclemdvds Unicode version

Theorem oddpwdclemdvds 12184
Description: Lemma for oddpwdc 12188. A natural number is divisible by the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddpwdclemdvds  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  ( (
2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )  ||  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem oddpwdclemdvds
StepHypRef Expression
1 pw2dvds 12180 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )
2 nfv 1538 . . 3  |-  F/ z  A  e.  NN
3 nfcv 2329 . . . . 5  |-  F/_ z
2
4 nfcv 2329 . . . . 5  |-  F/_ z ^
5 nfriota1 5851 . . . . 5  |-  F/_ z
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )
63, 4, 5nfov 5918 . . . 4  |-  F/_ z
( 2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )
7 nfcv 2329 . . . 4  |-  F/_ z  ||
8 nfcv 2329 . . . 4  |-  F/_ z A
96, 7, 8nfbr 4061 . . 3  |-  F/ z ( 2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )  ||  A
10 pw2dvdseu 12182 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  E! z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )
11 riota1 5862 . . . . . . . 8  |-  ( E! z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A )  ->  ( ( z  e.  NN0  /\  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  <->  ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  <->  ( iota_ z  e.  NN0  ( (
2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1312biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  =  z )
1413oveq2d 5904 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( 2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )  =  ( 2 ^ z ) )
15 simprrl 539 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( 2 ^ z
)  ||  A )
1614, 15eqbrtrd 4037 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( 2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )  ||  A
)
1716exp32 365 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  ( 2 ^ ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) ) ) 
||  A ) ) )
182, 9, 17rexlimd 2601 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  ( 2 ^ ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) ) ) 
||  A ) )
191, 18mpd 13 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( iota_ z  e.  NN0  ( (
2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) ) )  ||  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   E.wrex 2466   E!wreu 2467   class class class wbr 4015   iota_crio 5843  (class class class)co 5888   1c1 7826    + caddc 7828   NNcn 8933   2c2 8984   NN0cn0 9190   ^cexp 10533    || cdvds 11808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-dvds 11809
This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  12186  oddpwdclemdc  12187
  Copyright terms: Public domain W3C validator