Theorem oddpwdclemndvds 12693

Description: Lemma for oddpwdc 12696. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemndvds	|- ( A e. NN -> -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A )

Distinct variable group:   z, A

Proof of Theorem oddpwdclemndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12688	. 2 |- ( A e. NN -> E. z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
2		nfv 1574	. . 3 |- F/ z A e. NN
3		nfcv 2372	. . . . . 6 |- F/_ z 2
4		nfcv 2372	. . . . . 6 |- F/_ z ^
5		nfriota1 5962	. . . . . . 7 |- F/_ z ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
6		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ z +
7		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ z 1
8	5, 6, 7	nfov 6031	. . . . . 6 |- F/_ z ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 )
9	3, 4, 8	nfov 6031	. . . . 5 |- F/_ z ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) )
10		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ z ||
11		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ z A
12	9, 10, 11	nfbr 4130	. . . 4 |- F/ z ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A
13	12	nfn 1704	. . 3 |- F/ z -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A
14		simprrr 540	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A )
15		pw2dvdseu 12690	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> E! z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
16		riota1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> ( ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) <-> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) <-> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z ) )
18	17	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) = z )
19	18	oveq1d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) = ( z + 1 ) )
20	19	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) = ( 2 ^ ( z + 1 ) ) )
21	20	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A <-> ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
22	14, 21	mtbird 677	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( z e. NN0 /\ ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) -> -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A )
23	22	exp32 365	. . 3 |- ( A e. NN -> ( z e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A ) ) )
24	2, 13, 23	rexlimd 2645	. 2 |- ( A e. NN -> ( E. z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A ) )
25	1, 24	mpd 13	1 |- ( A e. NN -> -. ( 2 ^ ( ( iota_ z e. NN0 ( ( 2 ^ z ) || A /\ -. ( 2 ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) + 1 ) ) || A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   E!wreu 2510   class class class wbr 4083   iota_crio 5953  (class class class)co 6001   1c1 8000   + caddc 8002   NNcn 9110   2c2 9161   NN0cn0 9369   ^cexp 10760   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  12694