ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdclemndvds Unicode version

Theorem oddpwdclemndvds 12103
Description: Lemma for oddpwdc 12106. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddpwdclemndvds  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem oddpwdclemndvds
StepHypRef Expression
1 pw2dvds 12098 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )
2 nfv 1516 . . 3  |-  F/ z  A  e.  NN
3 nfcv 2308 . . . . . 6  |-  F/_ z
2
4 nfcv 2308 . . . . . 6  |-  F/_ z ^
5 nfriota1 5805 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )
6 nfcv 2308 . . . . . . 7  |-  F/_ z  +
7 nfcv 2308 . . . . . . 7  |-  F/_ z
1
85, 6, 7nfov 5872 . . . . . 6  |-  F/_ z
( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 )
93, 4, 8nfov 5872 . . . . 5  |-  F/_ z
( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )
10 nfcv 2308 . . . . 5  |-  F/_ z  ||
11 nfcv 2308 . . . . 5  |-  F/_ z A
129, 10, 11nfbr 4028 . . . 4  |-  F/ z ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
1312nfn 1646 . . 3  |-  F/ z  -.  ( 2 ^ ( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 ) )  ||  A
14 simprrr 530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  ->  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A )
15 pw2dvdseu 12100 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  E! z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )
16 riota1 5816 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A )  ->  ( ( z  e.  NN0  /\  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  <->  ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  <->  ( iota_ z  e.  NN0  ( (
2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1817biimpa 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  =  z )
1918oveq1d 5857 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
2019oveq2d 5858 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( z  +  1 ) ) )
2120breq1d 3992 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 ) )  ||  A 
<->  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )
2214, 21mtbird 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
2322exp32 363 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  -.  (
2 ^ ( (
iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
) ) )
242, 13, 23rexlimd 2580 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  -.  (
2 ^ ( (
iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
) )
251, 24mpd 13 1  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1343    e. wcel 2136   E.wrex 2445   E!wreu 2446   class class class wbr 3982   iota_crio 5797  (class class class)co 5842   1c1 7754    + caddc 7756   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ^cexp 10454    || cdvds 11727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-dvds 11728
This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  12104
  Copyright terms: Public domain W3C validator