Theorem oddpwdclemndvds 11885

Description: Lemma for oddpwdc 11888. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemndvds	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem oddpwdclemndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 11880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
2		nfv 1509	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ∈ ℕ
3		nfcv 2282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧2
4		nfcv 2282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧↑
5		nfriota1 5745	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
6		nfcv 2282	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 +
7		nfcv 2282	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧1
8	5, 6, 7	nfov 5809	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)
9	3, 4, 8	nfov 5809	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1))
10		nfcv 2282	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 ∥
11		nfcv 2282	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
12	9, 10, 11	nfbr 3982	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
13	12	nfn 1637	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
14		simprrr 530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)
15		pw2dvdseu 11882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
16		riota1 5756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
18	17	biimpa 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧)
19	18	oveq1d 5797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1) = (𝑧 + 1))
20	19	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = (2↑(𝑧 + 1)))
21	20	breq1d 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
22	14, 21	mtbird 663	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)
23	22	exp32 363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)))
24	2, 13, 23	rexlimd 2549	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴))
25	1, 24	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  ∃!wreu 2419   class class class wbr 3937  ℩crio 5737  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647  ℕcn 8744  2c2 8795  ℕ₀cn0 9001  ↑cexp 10323   ∥ cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  11886