Theorem oddpwdclemndvds 11490

Description: Lemma for oddpwdc 11493. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemndvds	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem oddpwdclemndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 11485	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
2		nfv 1467	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ∈ ℕ
3		nfcv 2229	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧2
4		nfcv 2229	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧↑
5		nfriota1 5631	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
6		nfcv 2229	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 +
7		nfcv 2229	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧1
8	5, 6, 7	nfov 5695	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)
9	3, 4, 8	nfov 5695	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1))
10		nfcv 2229	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 ∥
11		nfcv 2229	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
12	9, 10, 11	nfbr 3897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
13	12	nfn 1594	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
14		simprrr 508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)
15		pw2dvdseu 11487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
16		riota1 5642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
18	17	biimpa 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧)
19	18	oveq1d 5683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1) = (𝑧 + 1))
20	19	oveq2d 5684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = (2↑(𝑧 + 1)))
21	20	breq1d 3863	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
22	14, 21	mtbird 634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)
23	22	exp32 358	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)))
24	2, 13, 23	rexlimd 2488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴))
25	1, 24	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361  ∃!wreu 2362   class class class wbr 3853  ℩crio 5623  (class class class)co 5668  1c1 7414   + caddc 7416  ℕcn 8485  2c2 8536  ℕ₀cn0 8736  ↑cexp 10017   ∥ cdvds 11137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fl 9740  df-mod 9793  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-dvds 11138

This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  11491