Theorem oddpwdclemndvds 12688

Description: Lemma for oddpwdc 12691. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemndvds	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem oddpwdclemndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
2		nfv 1574	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ∈ ℕ
3		nfcv 2372	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧2
4		nfcv 2372	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧↑
5		nfriota1 5961	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
6		nfcv 2372	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 +
7		nfcv 2372	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧1
8	5, 6, 7	nfov 6030	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)
9	3, 4, 8	nfov 6030	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1))
10		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 ∥
11		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
12	9, 10, 11	nfbr 4129	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
13	12	nfn 1704	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴
14		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)
15		pw2dvdseu 12685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
16		riota1 5973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧))
18	17	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑧)
19	18	oveq1d 6015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1) = (𝑧 + 1))
20	19	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = (2↑(𝑧 + 1)))
21	20	breq1d 4092	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ((2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
22	14, 21	mtbird 677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)
23	22	exp32 365	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)))
24	2, 13, 23	rexlimd 2645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴))
25	1, 24	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510   class class class wbr 4082  ℩crio 5952  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  2c2 9157  ℕ₀cn0 9365  ↑cexp 10755   ∥ cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  12689