Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omiunct GIF version

Theorem omiunct 11968
 Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 11964 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc (𝜑CCHOICE)
omiunct.g ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
Assertion
Ref Expression
omiunct (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐵,   𝜑,𝑔,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omiunct
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . . . 4 (𝜑CCHOICE)
2 omiunct.g . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
31, 2omctfn 11967 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
4 exsimpr 1597 . . 3 (∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑓𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
53, 4syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6 omct 7002 . . 3 𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)
7 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o))
8 simplr 519 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
97, 8ctiunctal 11965 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
109expcom 115 . . . 4 (𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
1110exlimiv 1577 . . 3 (∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
126, 11ax-mp 5 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
135, 12exlimddv 1870 1 (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∪ ciun 3813  ωcom 4504   Fn wfn 5118  –onto→wfo 5121  ‘cfv 5123  1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922  CCHOICEwacc 7082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-map 6544  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-cc 7083  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-dvds 11505 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator