Theorem omiunct 12601

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 12597 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omiunct	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐵,ℎ   𝜑,𝑔,𝑥   𝑥,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		omiunct.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3	1, 2	omctfn 12600	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
4		exsimpr 1629	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6		omct 7176	. . 3 ⊢ ∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o))
8		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9	7, 8	ctiunctal 12598	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
10	9	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
11	10	exlimiv 1609	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
13	5, 12	exlimddv 1910	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∪ ciun 3912  ωcom 4622   Fn wfn 5249  –onto→wfo 5252  ‘cfv 5254  1_oc1o 6462   ⊔ cdju 7096  CCHOICEwacc 7322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143  df-cc 7323  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931

This theorem is referenced by: (None)