Theorem omiunct 12410

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 12406 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omiunct	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐵,ℎ   𝜑,𝑔,𝑥   𝑥,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		omiunct.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3	1, 2	omctfn 12409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
4		exsimpr 1616	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6		omct 7106	. . 3 ⊢ ∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o))
8		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9	7, 8	ctiunctal 12407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
10	9	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
11	10	exlimiv 1596	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
13	5, 12	exlimddv 1896	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1490   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∪ ciun 3882  ωcom 4583   Fn wfn 5203  –onto→wfo 5206  ‘cfv 5208  1_oc1o 6400   ⊔ cdju 7026  CCHOICEwacc 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-map 6640  df-en 6731  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073  df-cc 7237  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-dvds 11761

This theorem is referenced by: (None)