Theorem omiunct 12859

Description: The union of a countably infinite collection of countable sets is countable. Theorem 8.1.28 of [AczelRathjen], p. 78. Compare with ctiunct 12855 which has a stronger hypothesis but does not require countable choice. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omiunct	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐵,ℎ   𝜑,𝑔,𝑥   𝑥,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omiunct

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		omiunct.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3	1, 2	omctfn 12858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
4		exsimpr 1642	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6		omct 7226	. . 3 ⊢ ∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o))
8		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9	7, 8	ctiunctal 12856	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
10	9	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
11	10	exlimiv 1622	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘:ω–onto→(ω ⊔ 1o) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o)))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))
13	5, 12	exlimddv 1923	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∪ ciun 3929  ωcom 4642   Fn wfn 5271  –onto→wfo 5274  ‘cfv 5276  1_oc1o 6502   ⊔ cdju 7146  CCHOICEwacc 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-dju 7147  df-inl 7156  df-inr 7157  df-case 7193  df-cc 7382  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-dvds 12143

This theorem is referenced by: (None)