Theorem opeo 11630

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opeo	|- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( B e. ZZ /\ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A + B ) )

Proof of Theorem opeo

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11606	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( -. 2 || A <-> E. a e. ZZ ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A ) )
2		2z 9106	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
3		divides 11531	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B <-> E. b e. ZZ ( b x. 2 ) = B ) )
4	2, 3	mpan 421	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( 2 || B <-> E. b e. ZZ ( b x. 2 ) = B ) )
5	1, 4	bi2anan9 596	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( -. 2 || A /\ 2 || B ) <-> ( E. a e. ZZ ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. 2 ) = B ) ) )
6		reeanv 2603	. . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) <-> ( E. a e. ZZ ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. 2 ) = B ) )
7		zaddcl 9118	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + b ) e. ZZ )
8		zcn 9083	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> a e. CC )
9		zcn 9083	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> b e. CC )
10		2cn 8815	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
11		adddi 7776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ a e. CC /\ b e. CC ) -> ( 2 x. ( a + b ) ) = ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) )
12	10, 11	mp3an1 1303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( 2 x. ( a + b ) ) = ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) )
13	12	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) + 1 ) )
14		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 2 x. a ) e. CC )
15	10, 14	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. CC -> ( 2 x. a ) e. CC )
16		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ b e. CC ) -> ( 2 x. b ) e. CC )
17	10, 16	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. CC -> ( 2 x. b ) e. CC )
18		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
19		add32 7945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. a ) e. CC /\ ( 2 x. b ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( 2 x. b ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. a ) e. CC /\ ( 2 x. b ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( 2 x. b ) ) )
21	15, 17, 20	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( ( 2 x. a ) + ( 2 x. b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( 2 x. b ) ) )
22		mulcom 7773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ b e. CC ) -> ( 2 x. b ) = ( b x. 2 ) )
23	10, 22	mpan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. CC -> ( 2 x. b ) = ( b x. 2 ) )
24	23	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( 2 x. b ) = ( b x. 2 ) )
25	24	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( 2 x. b ) ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) )
26	13, 21, 25	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) )
27	8, 9, 26	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) )
28		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( a + b ) -> ( 2 x. c ) = ( 2 x. ( a + b ) ) )
29	28	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( a + b ) -> ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) )
30	29	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a + b ) -> ( ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) <-> ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) ) )
31	30	rspcev 2793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a + b ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. ( a + b ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) )
32	7, 27, 31	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) )
33		oveq12 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) -> ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) = ( A + B ) )
34	33	eqeq2d 2152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) -> ( ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) <-> ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
35	34	rexbidv 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) -> ( E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) + ( b x. 2 ) ) <-> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
36	32, 35	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
37	36	rexlimivv 2558	. . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ ( b x. 2 ) = B ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) )
38	6, 37	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( E. a e. ZZ ( ( 2 x. a ) + 1 ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. 2 ) = B ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) )
39	5, 38	syl6bi 162	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( -. 2 || A /\ 2 || B ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
40	39	imp 123	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ 2 || B ) ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) )
41	40	an4s 578	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( B e. ZZ /\ 2 || B ) ) -> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) )
42		zaddcl 9118	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
43	42	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( B e. ZZ /\ 2 || B ) ) -> ( A + B ) e. ZZ )
44		odd2np1 11606	. . 3 |- ( ( A + B ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( A + B ) <-> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
45	43, 44	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( B e. ZZ /\ 2 || B ) ) -> ( -. 2 || ( A + B ) <-> E. c e. ZZ ( ( 2 x. c ) + 1 ) = ( A + B ) ) )
46	41, 45	mpbird 166	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( B e. ZZ /\ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A + B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   2c2 8795   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by: (None)