Theorem qbtwnre 10515

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simp1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 8559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		simp3 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 1	posdifd 8711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	4, 5	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
7		nnrecl 9399	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
9	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 9212	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 2 ∈ ℝ)
12		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 8209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15	9, 14	remulcld 8209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
16		rebtwn2z 10513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
18		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19		2z 9506	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℤ)
21	18, 20	zaddcld 9605	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℤ)
22		2nn 9304	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℕ)
24	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	23, 24	nnmulcld 9191	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26		znq 9857	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 + 2) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
27	21, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
28		simprrr 542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2))
29	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	21	zred 9601	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℝ)
31	25	nnrpd 9928	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
32	29, 30, 31	ltmuldivd 9978	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
33	28, 32	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)))
34		simpll2 1063	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprrl 541	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)))
36		simplrr 538	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
37	18, 24, 29, 34, 35, 36	qbtwnrelemcalc 10514	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)
38		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
39		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵))
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)))
41	40	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ ((((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
42	27, 33, 37, 41	syl12anc 1271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
43	17, 42	rexlimddv 2655	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
44	8, 43	rexlimddv 2655	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   − cmin 8349   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10516  qdenre  11762  expcnvre  12063