ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnre GIF version

Theorem qbtwnre 10260
Description: The rational numbers are dense in โ„: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 simp1 997 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 8341 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
4 simp3 999 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
52, 1posdifd 8492 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
64, 5mpbid 147 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
7 nnrecl 9177 . . 3 (((๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
83, 6, 7syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
92adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 8992 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
1110a1i 9 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312nnred 8935 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
1411, 13remulcld 7991 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
159, 14remulcld 7991 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
16 rebtwn2z 10258 . . . 4 ((๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))
1715, 16syl 14 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))
18 simprl 529 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
19 2z 9284 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2019a1i 9 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2118, 20zaddcld 9382 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐‘š + 2) โˆˆ โ„ค)
22 2nn 9083 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
2322a1i 9 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
2412adantr 276 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2523, 24nnmulcld 8971 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
26 znq 9627 . . . . 5 (((๐‘š + 2) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š)
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š)
28 simprrr 540 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2))
299adantr 276 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3021zred 9378 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐‘š + 2) โˆˆ โ„)
3125nnrpd 9697 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
3229, 30, 31ltmuldivd 9747 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2) โ†” ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›))))
3328, 32mpbid 147 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)))
34 simpll2 1037 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
35 simprrl 539 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)))
36 simplrr 536 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
3718, 24, 29, 34, 35, 36qbtwnrelemcalc 10259 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)
38 breq2 4009 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ (๐ด < ๐‘ฅ โ†” ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›))))
39 breq1 4008 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ต โ†” ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต))
4038, 39anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต) โ†” (๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆง ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)))
4140rspcev 2843 . . . 4 ((((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š โˆง (๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆง ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
4227, 33, 37, 41syl12anc 1236 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
4317, 42rexlimddv 2599 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
448, 43rexlimddv 2599 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โˆ’ cmin 8131   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  2c2 8973  โ„คcz 9256  โ„šcq 9622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10261  qdenre  11214  expcnvre  11514
  Copyright terms: Public domain W3C validator