Theorem qbtwnre 10363

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 8424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 1	posdifd 8576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	4, 5	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
7		nnrecl 9264	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
9	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 9077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 2 ∈ ℝ)
12		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 8074	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15	9, 14	remulcld 8074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
16		rebtwn2z 10361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
18		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19		2z 9371	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℤ)
21	18, 20	zaddcld 9469	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℤ)
22		2nn 9169	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℕ)
24	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	23, 24	nnmulcld 9056	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26		znq 9715	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 + 2) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
27	21, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
28		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2))
29	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	21	zred 9465	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℝ)
31	25	nnrpd 9786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
32	29, 30, 31	ltmuldivd 9836	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
33	28, 32	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)))
34		simpll2 1039	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprrl 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)))
36		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
37	18, 24, 29, 34, 35, 36	qbtwnrelemcalc 10362	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)
38		breq2 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
39		breq1 4037	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵))
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)))
41	40	rspcev 2868	. . . 4 ⊢ ((((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
42	27, 33, 37, 41	syl12anc 1247	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
43	17, 42	rexlimddv 2619	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
44	8, 43	rexlimddv 2619	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   − cmin 8214   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℚcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10364  qdenre  11384  expcnvre  11685