Theorem qbtwnre 10640

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 8671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 1	posdifd 8823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	4, 5	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
7		nnrecl 9511	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
9	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 9324	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 2 ∈ ℝ)
12		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9267	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 8320	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15	9, 14	remulcld 8320	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
16		rebtwn2z 10638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
18		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19		2z 9622	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℤ)
21	18, 20	zaddcld 9722	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℤ)
22		2nn 9416	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℕ)
24	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	23, 24	nnmulcld 9303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26		znq 9974	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 + 2) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
27	21, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
28		simprrr 542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2))
29	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	21	zred 9718	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℝ)
31	25	nnrpd 10045	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
32	29, 30, 31	ltmuldivd 10095	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
33	28, 32	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)))
34		simpll2 1064	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprrl 541	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)))
36		simplrr 538	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
37	18, 24, 29, 34, 35, 36	qbtwnrelemcalc 10639	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)
38		breq2 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
39		breq1 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵))
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)))
41	40	rspcev 2923	. . . 4 ⊢ ((((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
42	27, 33, 37, 41	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
43	17, 42	rexlimddv 2667	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
44	8, 43	rexlimddv 2667	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8460   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  ℤcz 9594  ℚcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10641  qdenre  11912  expcnvre  12214