Theorem qbtwnre 10471

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 8523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 1	posdifd 8675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	4, 5	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
7		nnrecl 9363	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
9	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 9176	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 2 ∈ ℝ)
12		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 8173	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15	9, 14	remulcld 8173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
16		rebtwn2z 10469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
18		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19		2z 9470	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℤ)
21	18, 20	zaddcld 9569	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℤ)
22		2nn 9268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℕ)
24	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	23, 24	nnmulcld 9155	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26		znq 9815	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 + 2) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
27	21, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
28		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2))
29	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	21	zred 9565	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℝ)
31	25	nnrpd 9886	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
32	29, 30, 31	ltmuldivd 9936	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
33	28, 32	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)))
34		simpll2 1061	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprrl 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)))
36		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))
37	18, 24, 29, 34, 35, 36	qbtwnrelemcalc 10470	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)
38		breq2 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
39		breq1 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵))
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)))
41	40	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ ((((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
42	27, 33, 37, 41	syl12anc 1269	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
43	17, 42	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
44	8, 43	rexlimddv 2653	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000   < clt 8177   − cmin 8313   / cdiv 8815  ℕcn 9106  2c2 9157  ℤcz 9442  ℚcq 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10472  qdenre  11708  expcnvre  12009