ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnre GIF version

Theorem qbtwnre 10271
Description: The rational numbers are dense in โ„: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 999 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 simp1 998 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 8352 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
4 simp3 1000 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
52, 1posdifd 8503 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
64, 5mpbid 147 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
7 nnrecl 9188 . . 3 (((๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
83, 6, 7syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
92adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 2re 9003 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
1110a1i 9 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312nnred 8946 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
1411, 13remulcld 8002 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
159, 14remulcld 8002 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
16 rebtwn2z 10269 . . . 4 ((๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))
1715, 16syl 14 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))
18 simprl 529 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
19 2z 9295 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2019a1i 9 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2118, 20zaddcld 9393 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐‘š + 2) โˆˆ โ„ค)
22 2nn 9094 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
2322a1i 9 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
2412adantr 276 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2523, 24nnmulcld 8982 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
26 znq 9638 . . . . 5 (((๐‘š + 2) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š)
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š)
28 simprrr 540 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2))
299adantr 276 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3021zred 9389 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (๐‘š + 2) โˆˆ โ„)
3125nnrpd 9708 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
3229, 30, 31ltmuldivd 9758 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2) โ†” ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›))))
3328, 32mpbid 147 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)))
34 simpll2 1038 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
35 simprrl 539 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)))
36 simplrr 536 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
3718, 24, 29, 34, 35, 36qbtwnrelemcalc 10270 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)
38 breq2 4019 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ (๐ด < ๐‘ฅ โ†” ๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›))))
39 breq1 4018 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ต โ†” ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต))
4038, 39anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต) โ†” (๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆง ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)))
4140rspcev 2853 . . . 4 ((((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„š โˆง (๐ด < ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) โˆง ((๐‘š + 2) / (2 ยท ๐‘›)) < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
4227, 33, 37, 41syl12anc 1246 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š < (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) โˆง (๐ด ยท (2 ยท ๐‘›)) < (๐‘š + 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
4317, 42rexlimddv 2609 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘›) < (๐ต โˆ’ ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
448, 43rexlimddv 2609 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โˆ’ cmin 8142   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  2c2 8984  โ„คcz 9267  โ„šcq 9633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10272  qdenre  11225  expcnvre  11525
  Copyright terms: Public domain W3C validator