ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnre GIF version

Theorem qbtwnre 10243
Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 simp1 997 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 8328 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 simp3 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
52, 1posdifd 8479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
64, 5mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝐴))
7 nnrecl 9163 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))
83, 6, 7syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))
92adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 8978 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1110a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → 2 ∈ ℝ)
12 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
1312nnred 8921 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 7978 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
159, 14remulcld 7978 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
16 rebtwn2z 10241 . . . 4 ((𝐴 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
1715, 16syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))
18 simprl 529 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19 2z 9270 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2019a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℤ)
2118, 20zaddcld 9368 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℤ)
22 2nn 9069 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2322a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 2 ∈ ℕ)
2412adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2523, 24nnmulcld 8957 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26 znq 9613 . . . . 5 (((𝑚 + 2) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ)
28 simprrr 540 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2))
299adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3021zred 9364 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (𝑚 + 2) ∈ ℝ)
3125nnrpd 9681 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3229, 30, 31ltmuldivd 9731 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
3328, 32mpbid 147 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)))
34 simpll2 1037 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
35 simprrl 539 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → 𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)))
36 simplrr 536 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))
3718, 24, 29, 34, 35, 36qbtwnrelemcalc 10242 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)
38 breq2 4004 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝐴 < 𝑥𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛))))
39 breq1 4003 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵))
4038, 39anbi12d 473 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)))
4140rspcev 2841 . . . 4 ((((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) ∧ ((𝑚 + 2) / (2 · 𝑛)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4227, 33, 37, 41syl12anc 1236 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < (𝐴 · (2 · 𝑛)) ∧ (𝐴 · (2 · 𝑛)) < (𝑚 + 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4317, 42rexlimddv 2599 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) < (𝐵𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
448, 43rexlimddv 2599 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cq 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10244  qdenre  11195  expcnvre  11495
  Copyright terms: Public domain W3C validator