Theorem qexpclz 10921

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9587	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		zq 9957	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. QQ
4		qapne 9970	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
6	5	3anbi2d 1354	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
7	6	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	ibir 177	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) )
9		qsscn 9962	. . 3 |- QQ C_ CC
10		qmulcl 9968	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x x. y ) e. QQ )
11		1z 9602	. . . 4 |- 1 e. ZZ
12		zq 9957	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- 1 e. QQ
14		qapne 9970	. . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
15	3, 14	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x e. QQ -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
16	15	pm5.32i 454	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) <-> ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) )
17		qreccl 9973	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
18	16, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10912	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )
20	8, 19	syl 14	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   =/= wne 2412   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   # cap 8854   / cdiv 8945   ZZcz 9576   QQcq 9950   ^cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  pcexp  13003  pcaddlem  13033  lgseisen  15939