Theorem qexpclz 10769

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9445	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		zq 9809	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. QQ
4		qapne 9822	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
6	5	3anbi2d 1351	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
7	6	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	ibir 177	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) )
9		qsscn 9814	. . 3 |- QQ C_ CC
10		qmulcl 9820	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x x. y ) e. QQ )
11		1z 9460	. . . 4 |- 1 e. ZZ
12		zq 9809	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- 1 e. QQ
14		qapne 9822	. . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
15	3, 14	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x e. QQ -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
16	15	pm5.32i 454	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) <-> ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) )
17		qreccl 9825	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
18	16, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10760	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )
20	8, 19	syl 14	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   0cc0 7987   1c1 7988   # cap 8716   / cdiv 8807   ZZcz 9434   QQcq 9802   ^cexp 10747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-seqfrec 10657  df-exp 10748

This theorem is referenced by:  pcexp  12818  pcaddlem  12848  lgseisen  15738