ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qexpclz Unicode version

Theorem qexpclz 10509
Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qexpclz  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )

Proof of Theorem qexpclz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9235 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
2 zq 9597 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  QQ
4 qapne 9610 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0 ) )
53, 4mpan2 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0
) )
653anbi2d 1317 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ ) ) )
763ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87ibir 178 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ ) )
9 qsscn 9602 . . 3  |-  QQ  C_  CC
10 qmulcl 9608 . . 3  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  QQ )
11 1z 9250 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
12 zq 9597 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  1  e.  QQ
14 qapne 9610 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
153, 14mpan2 425 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
1615pm5.32i 454 . . . 4  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x #  0 )  <->  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )
17 qreccl 9613 . . . 4  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  QQ )
1816, 17sylbi 121 . . 3  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  QQ )
199, 10, 13, 18expcl2lemap 10500 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )
208, 19syl 14 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2146    =/= wne 2345   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   # cap 8512    / cdiv 8601   ZZcz 9224   QQcq 9590   ^cexp 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-seqfrec 10414  df-exp 10488
This theorem is referenced by:  pcexp  12275  pcaddlem  12304
  Copyright terms: Public domain W3C validator