Theorem qexpclz 10950

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9609	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		zq 9980	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. QQ
4		qapne 9993	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
6	5	3anbi2d 1354	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
7	6	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) <-> ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	ibir 177	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) )
9		qsscn 9985	. . 3 |- QQ C_ CC
10		qmulcl 9991	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x x. y ) e. QQ )
11		1z 9624	. . . 4 |- 1 e. ZZ
12		zq 9980	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- 1 e. QQ
14		qapne 9993	. . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
15	3, 14	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x e. QQ -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
16	15	pm5.32i 454	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) <-> ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) )
17		qreccl 9996	. . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
18	16, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( ( x e. QQ /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. QQ )
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10941	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )
20	8, 19	syl 14	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   0cc0 8144   1c1 8145   # cap 8874   / cdiv 8967   ZZcz 9598   QQcq 9973   ^cexp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-seqfrec 10838  df-exp 10929

This theorem is referenced by:  pcexp  13037  pcaddlem  13067  lgseisen  16078