ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qexpclz Unicode version

Theorem qexpclz 10321
Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qexpclz  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )

Proof of Theorem qexpclz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9072 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
2 zq 9425 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  QQ
4 qapne 9438 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0 ) )
53, 4mpan2 421 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0
) )
653anbi2d 1295 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ ) ) )
763ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87ibir 176 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ ) )
9 qsscn 9430 . . 3  |-  QQ  C_  CC
10 qmulcl 9436 . . 3  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  QQ )
11 1z 9087 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
12 zq 9425 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  1  e.  QQ
14 qapne 9438 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
153, 14mpan2 421 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
1615pm5.32i 449 . . . 4  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x #  0 )  <->  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )
17 qreccl 9441 . . . 4  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  QQ )
1816, 17sylbi 120 . . 3  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  QQ )
199, 10, 13, 18expcl2lemap 10312 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )
208, 19syl 14 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7627   1c1 7628   # cap 8350    / cdiv 8439   ZZcz 9061   QQcq 9418   ^cexp 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-seqfrec 10226  df-exp 10300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator