Theorem qexpclz 10484

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9572	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qapne 9585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5	3, 4	mpan2 423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	3anbi2d 1312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7	6	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
8	7	ibir 176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		qsscn 9577	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
10		qmulcl 9583	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
11		1z 9225	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zq 9572	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
14		qapne 9585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
15	3, 14	mpan2 423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
16	15	pm5.32i 451	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0))
17		qreccl 9588	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
18	16, 17	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
20	8, 19	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  0cc0 7761  1c1 7762   # cap 8487   / cdiv 8576  ℤcz 9199  ℚcq 9565  ↑cexp 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-seqfrec 10389  df-exp 10463

This theorem is referenced by:  pcexp  12250  pcaddlem  12279