Theorem qexpclz 10631

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9328	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9691	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qapne 9704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	3anbi2d 1328	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7	6	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
8	7	ibir 177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		qsscn 9696	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
10		qmulcl 9702	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
11		1z 9343	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zq 9691	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
14		qapne 9704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
15	3, 14	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
16	15	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0))
17		qreccl 9707	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
18	16, 17	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
20	8, 19	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   # cap 8600   / cdiv 8691  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  pcexp  12447  pcaddlem  12477  lgseisen  15190