Theorem qexpclz 10314

Description: Closure of exponentiation of rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qexpclz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qexpclz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9065	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9418	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qapne 9431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5	3, 4	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	3anbi2d 1295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7	6	3ad2ant1 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
8	7	ibir 176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		qsscn 9423	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
10		qmulcl 9429	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
11		1z 9080	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zq 9418	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
14		qapne 9431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
15	3, 14	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
16	15	pm5.32i 449	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0))
17		qreccl 9434	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
18	16, 17	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℚ)
19	9, 10, 13, 18	expcl2lemap 10305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
20	8, 19	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   # cap 8343   / cdiv 8432  ℤcz 9054  ℚcq 9411  ↑cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by: (None)