Theorem resubmet 14445

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	|- R = ( topGen ` ran (,) )
resubmet.2	|- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resubmet	|- ( A C_ RR -> J = ( R ↾t A ) )

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
2		xpss12 4748	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A C_ RR ) -> ( A X. A ) C_ ( RR X. RR ) )
3	2	anidms 397	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( A X. A ) C_ ( RR X. RR ) )
4	3	resabs1d 4952	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
5	4	fveq2d 5534	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
6	1, 5	eqtr4id 2241	. 2 |- ( A C_ RR -> J = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
7		eqid 2189	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
8	7	rexmet 14438	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
9		eqid 2189	. . . 4 |- ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) = ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) )
10		resubmet.1	. . . . 5 |- R = ( topGen ` ran (,) )
11		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
12	7, 11	tgioo 14443	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
13	10, 12	eqtri 2210	. . . 4 |- R = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
14		eqid 2189	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) )
15	9, 13, 14	metrest 14403	. . 3 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ A C_ RR ) -> ( R ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
16	8, 15	mpan 424	. 2 |- ( A C_ RR -> ( R ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
17	6, 16	eqtr4d 2225	1 |- ( A C_ RR -> J = ( R ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   X. cxp 4639   ran crn 4642   |` cres 4643   o. ccom 4645   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   RRcr 7828   - cmin 8146   (,)cioo 9906   abscabs 11024   ↾_t crest 12710   topGenctg 12725   *Metcxmet 13810   MetOpencmopn 13815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-xneg 9790  df-xadd 9791  df-ioo 9910  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-rest 12712  df-topgen 12731  df-psmet 13817  df-xmet 13818  df-met 13819  df-bl 13820  df-mopn 13821  df-top 13895  df-topon 13908  df-bases 13940

This theorem is referenced by: (None)