Theorem resubmet 14288

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	|- R = ( topGen ` ran (,) )
resubmet.2	|- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resubmet	|- ( A C_ RR -> J = ( R ↾t A ) )

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
2		xpss12 4745	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A C_ RR ) -> ( A X. A ) C_ ( RR X. RR ) )
3	2	anidms 397	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( A X. A ) C_ ( RR X. RR ) )
4	3	resabs1d 4949	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
5	4	fveq2d 5531	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
6	1, 5	eqtr4id 2239	. 2 |- ( A C_ RR -> J = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
7		eqid 2187	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
8	7	rexmet 14281	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
9		eqid 2187	. . . 4 |- ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) = ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) )
10		resubmet.1	. . . . 5 |- R = ( topGen ` ran (,) )
11		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
12	7, 11	tgioo 14286	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
13	10, 12	eqtri 2208	. . . 4 |- R = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
14		eqid 2187	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) )
15	9, 13, 14	metrest 14246	. . 3 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ A C_ RR ) -> ( R ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
16	8, 15	mpan 424	. 2 |- ( A C_ RR -> ( R ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) |` ( A X. A ) ) ) )
17	6, 16	eqtr4d 2223	1 |- ( A C_ RR -> J = ( R ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   X. cxp 4636   ran crn 4639   |` cres 4640   o. ccom 4642   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   - cmin 8141   (,)cioo 9901   abscabs 11019   ↾_t crest 12705   topGenctg 12720   *Metcxmet 13666   MetOpencmopn 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783

This theorem is referenced by: (None)