Theorem resubmet 15547

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
resubmet.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
resubmet	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2		xpss12 4862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
3	2	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
4	3	resabs1d 5073	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5	4	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
6	1, 5	eqtr4id 2286	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
7		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8	7	rexmet 15540	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
10		resubmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
12	7, 11	tgioo 15545	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
13	10, 12	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
15	9, 13, 14	metrest 15497	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
16	8, 15	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
17	6, 16	eqtr4d 2270	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214   × cxp 4752  ran crn 4755   ↾ cres 4756   ∘ ccom 4758  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝcr 8142   − cmin 8460  (,)cioo 10240  abscabs 11707   ↾_t crest 13536  topGenctg 13551  ∞Metcxmet 14810  MetOpencmopn 14815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034

This theorem is referenced by: (None)