Theorem sqrt2gt1lt2 11568

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 11565	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 9288	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 8153	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 8636	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 9188	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 9208	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 11556	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 145	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 4106	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 9292	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 9195	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 8154	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 9215	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 8257	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 11556	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 145	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 11566	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 4108	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 272	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   < clt 8189   ≤ cle 8190  2c2 9169  4c4 9171  √csqrt 11515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-rsqrt 11517

This theorem is referenced by: (None)