Theorem subgrcl 13083

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2188	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13077	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1013	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2159   ⊆ wss 3143  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  Basecbs 12479   ↾_s cress 12480  Grpcgrp 12910  SubGrpcsubg 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-fv 5238  df-ov 5893  df-inn 8937  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-subg 13074

This theorem is referenced by:  subg0  13084  subginv  13085  subgcl  13088  subgsub  13090  subgmulgcl  13091  subgmulg  13092  subgsubm  13100  subsubg  13101  subgintm  13102  isnsg  13106  nsgconj  13110  isnsg3  13111  ssnmz  13115  nmznsg  13117  eqger  13128  eqgid  13130  eqgen  13131  eqgcpbl  13132  qusgrp  13136  quseccl  13137  qusadd  13138  resghm  13159  resghm2  13160  resghm2b  13161  conjsubg  13176  conjsubgen  13177  conjnmz  13178  conjnmzb  13179  qusghm  13181  issubrng2  13517  issubrg2  13548