Theorem subgrcl 13888

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13882	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204   ↾_s cress 13205  Grpcgrp 13705  SubGrpcsubg 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-subg 13879

This theorem is referenced by:  subg0  13889  subginv  13890  subgcl  13893  subgsub  13895  subgmulgcl  13896  subgmulg  13897  subgsubm  13905  subsubg  13906  subgintm  13907  isnsg  13911  nsgconj  13915  isnsg3  13916  ssnmz  13920  nmznsg  13922  eqger  13933  eqgid  13935  eqgen  13936  eqgcpbl  13937  qusgrp  13941  quseccl  13942  qusadd  13943  qus0  13944  qusinv  13945  qussub  13946  ecqusaddcl  13948  resghm  13969  resghm2  13970  resghm2b  13971  conjsubg  13986  conjsubgen  13987  conjnmz  13988  conjnmzb  13989  qusghm  13991  issubrng2  14347  issubrg2  14378