Theorem subgrcl 14033

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 14027	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13403   ↾_s cress 13404  Grpcgrp 13856  SubGrpcsubg 14021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-subg 14024

This theorem is used by:  subg0  14034  subginv  14035  subgcl  14038  subgsub  14040  subgmulgcl  14041  subgmulg  14042  subgsubm  14050  subsubg  14051  subgintm  14052  isnsg  14056  nsgconj  14060  isnsg3  14061  ssnmz  14065  nmznsg  14067  eqger  14078  eqgid  14080  eqgen  14081  eqgcpbl  14082  qusgrp  14086  quseccl  14087  qusadd  14088  qus0  14089  qusinv  14090  qussub  14091  ecqusaddcl  14093  resghm  14114  resghm2  14115  resghm2b  14116  conjsubg  14131  conjsubgen  14132  conjnmz  14133  conjnmzb  14134  qusghm  14136  issubrng2  14569  issubrg2  14600