Theorem subgrcl 13387

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13381	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705   ↾_s cress 12706  Grpcgrp 13204  SubGrpcsubg 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-subg 13378

This theorem is referenced by:  subg0  13388  subginv  13389  subgcl  13392  subgsub  13394  subgmulgcl  13395  subgmulg  13396  subgsubm  13404  subsubg  13405  subgintm  13406  isnsg  13410  nsgconj  13414  isnsg3  13415  ssnmz  13419  nmznsg  13421  eqger  13432  eqgid  13434  eqgen  13435  eqgcpbl  13436  qusgrp  13440  quseccl  13441  qusadd  13442  qus0  13443  qusinv  13444  qussub  13445  ecqusaddcl  13447  resghm  13468  resghm2  13469  resghm2b  13470  conjsubg  13485  conjsubgen  13486  conjnmz  13487  conjnmzb  13488  qusghm  13490  issubrng2  13844  issubrg2  13875