Theorem subgrcl 13771

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13765	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1038	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087   ↾_s cress 13088  Grpcgrp 13588  SubGrpcsubg 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-subg 13762

This theorem is referenced by:  subg0  13772  subginv  13773  subgcl  13776  subgsub  13778  subgmulgcl  13779  subgmulg  13780  subgsubm  13788  subsubg  13789  subgintm  13790  isnsg  13794  nsgconj  13798  isnsg3  13799  ssnmz  13803  nmznsg  13805  eqger  13816  eqgid  13818  eqgen  13819  eqgcpbl  13820  qusgrp  13824  quseccl  13825  qusadd  13826  qus0  13827  qusinv  13828  qussub  13829  ecqusaddcl  13831  resghm  13852  resghm2  13853  resghm2b  13854  conjsubg  13869  conjsubgen  13870  conjnmz  13871  conjnmzb  13872  qusghm  13874  issubrng2  14230  issubrg2  14261