Theorem subgrcl 13335

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13329	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12689   ↾_s cress 12690  Grpcgrp 13158  SubGrpcsubg 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1re 7976  ax-addrcl 7979

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8994  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-subg 13326

This theorem is referenced by:  subg0  13336  subginv  13337  subgcl  13340  subgsub  13342  subgmulgcl  13343  subgmulg  13344  subgsubm  13352  subsubg  13353  subgintm  13354  isnsg  13358  nsgconj  13362  isnsg3  13363  ssnmz  13367  nmznsg  13369  eqger  13380  eqgid  13382  eqgen  13383  eqgcpbl  13384  qusgrp  13388  quseccl  13389  qusadd  13390  qus0  13391  qusinv  13392  qussub  13393  ecqusaddcl  13395  resghm  13416  resghm2  13417  resghm2b  13418  conjsubg  13433  conjsubgen  13434  conjnmz  13435  conjnmzb  13436  qusghm  13438  issubrng2  13792  issubrg2  13823