Theorem subgrcl 13827

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13821	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143   ↾_s cress 13144  Grpcgrp 13644  SubGrpcsubg 13815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9187  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-subg 13818

This theorem is referenced by:  subg0  13828  subginv  13829  subgcl  13832  subgsub  13834  subgmulgcl  13835  subgmulg  13836  subgsubm  13844  subsubg  13845  subgintm  13846  isnsg  13850  nsgconj  13854  isnsg3  13855  ssnmz  13859  nmznsg  13861  eqger  13872  eqgid  13874  eqgen  13875  eqgcpbl  13876  qusgrp  13880  quseccl  13881  qusadd  13882  qus0  13883  qusinv  13884  qussub  13885  ecqusaddcl  13887  resghm  13908  resghm2  13909  resghm2b  13910  conjsubg  13925  conjsubgen  13926  conjnmz  13927  conjnmzb  13928  qusghm  13930  issubrng2  14286  issubrg2  14317