Theorem subgrcl 13913

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13907	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3213  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13229   ↾_s cress 13230  Grpcgrp 13730  SubGrpcsubg 13901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-subg 13904

This theorem is referenced by:  subg0  13914  subginv  13915  subgcl  13918  subgsub  13920  subgmulgcl  13921  subgmulg  13922  subgsubm  13930  subsubg  13931  subgintm  13932  isnsg  13936  nsgconj  13940  isnsg3  13941  ssnmz  13945  nmznsg  13947  eqger  13958  eqgid  13960  eqgen  13961  eqgcpbl  13962  qusgrp  13966  quseccl  13967  qusadd  13968  qus0  13969  qusinv  13970  qussub  13971  ecqusaddcl  13973  resghm  13994  resghm2  13995  resghm2b  13996  conjsubg  14011  conjsubgen  14012  conjnmz  14013  conjnmzb  14014  qusghm  14016  issubrng2  14372  issubrg2  14403