Theorem subgrcl 13565

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13559	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1015	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3168  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882   ↾_s cress 12883  Grpcgrp 13382  SubGrpcsubg 13553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-fv 5285  df-ov 5957  df-inn 9050  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-subg 13556

This theorem is referenced by:  subg0  13566  subginv  13567  subgcl  13570  subgsub  13572  subgmulgcl  13573  subgmulg  13574  subgsubm  13582  subsubg  13583  subgintm  13584  isnsg  13588  nsgconj  13592  isnsg3  13593  ssnmz  13597  nmznsg  13599  eqger  13610  eqgid  13612  eqgen  13613  eqgcpbl  13614  qusgrp  13618  quseccl  13619  qusadd  13620  qus0  13621  qusinv  13622  qussub  13623  ecqusaddcl  13625  resghm  13646  resghm2  13647  resghm2b  13648  conjsubg  13663  conjsubgen  13664  conjnmz  13665  conjnmzb  13666  qusghm  13668  issubrng2  14022  issubrg2  14053