Theorem subgrcl 13936

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13930	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13300   ↾_s cress 13301  Grpcgrp 13759  SubGrpcsubg 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-subg 13927

This theorem is referenced by:  subg0  13937  subginv  13938  subgcl  13941  subgsub  13943  subgmulgcl  13944  subgmulg  13945  subgsubm  13953  subsubg  13954  subgintm  13955  isnsg  13959  nsgconj  13963  isnsg3  13964  ssnmz  13968  nmznsg  13970  eqger  13981  eqgid  13983  eqgen  13984  eqgcpbl  13985  qusgrp  13989  quseccl  13990  qusadd  13991  qus0  13992  qusinv  13993  qussub  13994  ecqusaddcl  13996  resghm  14017  resghm2  14018  resghm2b  14019  conjsubg  14034  conjsubgen  14035  conjnmz  14036  conjnmzb  14037  qusghm  14039  issubrng2  14460  issubrg2  14491