Theorem trilpolemres 13575

Description: Lemma for trilpo 13576. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
trilpolemres.a	|- ( ph -> ( A < 1 \/ A = 1 \/ 1 < A ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemres	|- ( ph -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   ph, i, x   A, i, x

Proof of Theorem trilpolemres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		trilpolemgt1.a	. . . 4 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 13574	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
6	5	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
7	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
8		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
9	7, 3, 8	trilpolemeq1 13573	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
10	9	olcd 724	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
11	1, 3	trilpolemgt1 13572	. . . 4 |- ( ph -> -. 1 < A )
12	11	pm2.21d 609	. . 3 |- ( ph -> ( 1 < A -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) ) )
13	12	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ 1 < A ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
14		trilpolemres.a	. 2 |- ( ph -> ( A < 1 \/ A = 1 \/ 1 < A ) )
15	6, 10, 13, 14	mpjao3dan 1289	1 |- ( ph -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   \/ w3o 962   = wceq 1335   A.wral 2435   E.wrex 2436   {cpr 3561   class class class wbr 3965   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   0cc0 7715   1c1 7716   x. cmul 7720   < clt 7895   / cdiv 8528   NNcn 8816   2c2 8867   ^cexp 10400   sum_csu 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-omni 7061  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233

This theorem is referenced by:  trilpo  13576