Theorem trilpolemres 15713

Description: Lemma for trilpo 15714. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
trilpolemres.a	|- ( ph -> ( A < 1 \/ A = 1 \/ 1 < A ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemres	|- ( ph -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   i, F, x   ph, i, x   A, i, x

Proof of Theorem trilpolemres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		trilpolemgt1.a	. . . 4 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 15712	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
6	5	orcd 734	. 2 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
8		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
9	7, 3, 8	trilpolemeq1 15711	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
10	9	olcd 735	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
11	1, 3	trilpolemgt1 15710	. . . 4 |- ( ph -> -. 1 < A )
12	11	pm2.21d 620	. . 3 |- ( ph -> ( 1 < A -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) ) )
13	12	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ 1 < A ) -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
14		trilpolemres.a	. 2 |- ( ph -> ( A < 1 \/ A = 1 \/ 1 < A ) )
15	6, 10, 13, 14	mpjao3dan 1318	1 |- ( ph -> ( E. x e. NN ( F ` x ) = 0 \/ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1364   A.wral 2475   E.wrex 2476   {cpr 3624   class class class wbr 4034   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   0cc0 7882   1c1 7883   x. cmul 7887   < clt 8064   / cdiv 8702   NNcn 8993   2c2 9044   ^cexp 10633   sum_csu 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6594  df-map 6711  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-omni 7203  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-ico 9972  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522

This theorem is referenced by:  trilpo  15714