Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemres GIF version

Theorem trilpolemres 13037
Description: Lemma for trilpo 13038. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
trilpolemres.a (𝜑 → (𝐴 < 1 ∨ 𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
Assertion
Ref Expression
trilpolemres (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝐴,𝑖,𝑥

Proof of Theorem trilpolemres
StepHypRef Expression
1 trilpolemgt1.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
21adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3 trilpolemgt1.a . . . 4 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
4 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
52, 3, 4trilpolemlt1 13036 . . 3 ((𝜑𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0)
65orcd 705 . 2 ((𝜑𝐴 < 1) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
71adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
8 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 1) → 𝐴 = 1)
97, 3, 8trilpolemeq1 13035 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1)
109olcd 706 . 2 ((𝜑𝐴 = 1) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
111, 3trilpolemgt1 13034 . . . 4 (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
1211pm2.21d 591 . . 3 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1)))
1312imp 123 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
14 trilpolemres.a . 2 (𝜑 → (𝐴 < 1 ∨ 𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
156, 10, 13, 14mpjao3dan 1268 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680  w3o 944   = wceq 1314  wral 2391  wrex 2392  {cpr 3496   class class class wbr 3897  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  0cc0 7584  1c1 7585   · cmul 7589   < clt 7764   / cdiv 8392  cn 8677  2c2 8728  cexp 10232  Σcsu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-er 6395  df-map 6510  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-omni 6972  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-ico 9617  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  trilpo  13038
  Copyright terms: Public domain W3C validator