Theorem trlsegvdeglem6 16911

Description: Lemma for trlsegvdeg . (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 16909	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼))
14	2	trlf1 16834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
15	6, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
16		f1f 5601	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
18	17	fimassd 5554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
19		dfss2 3237	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
20	18, 19	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
21	13, 20	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
22		elfzoelz 10571	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	4, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfzoel2 10570	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
25	4, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		elfzo0le 10614	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝐹))
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (♯‘𝐹))
28		eluz2 9943	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝐹)))
29	23, 25, 27, 28	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
30		fzoss2 10598	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
31	29, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
32		0z 9666	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		fzofig 10890	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
34	32, 23, 33	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
35		imaf1fi 7244	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36	15, 31, 34, 35	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
37	21, 36	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776   ↾ cres 4778   “ cima 4779  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  –1-1→wf1 5377  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Trailsctrls 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-wlks 16764  df-trls 16827

This theorem is used by:  trlsegvdegfi  16913  eupth2lem3lem1fi  16914