Theorem trlsegvdeglem6 16389

Description: Lemma for trlsegvdeg . (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 16387	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼))
14	2	trlf1 16312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
15	6, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
16		f1f 5551	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
18	17	fimassd 5506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
19		dfss2 3218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
20	18, 19	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
21	13, 20	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
22		elfzoelz 10427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	4, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfzoel2 10426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
25	4, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		elfzo0le 10470	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝐹))
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (♯‘𝐹))
28		eluz2 9805	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝐹)))
29	23, 25, 27, 28	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
30		fzoss2 10454	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
31	29, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
32		0z 9534	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		fzofig 10740	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
34	32, 23, 33	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
35		imaf1fi 7168	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36	15, 31, 34, 35	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
37	21, 36	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  {csn 3673  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  dom cdm 4731   ↾ cres 4733   “ cima 4734  Fun wfun 5327  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  0cc0 8075   ≤ cle 8257  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Trailsctrls 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-wlks 16242  df-trls 16305

This theorem is referenced by:  trlsegvdegfi  16391  eupth2lem3lem1fi  16392