Theorem umgr1een 16571

Description: A graph with one non-loop edge is a multigraph. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1een.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
upgr1een.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
upgr1een.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
upgr1een.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)

Assertion

Ref	Expression
umgr1een	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgr1een

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1een.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
2		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 2o ↔ 𝐸 ≈ 2o))
3		upgr1een.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4		upgr1een.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
5		opexg 4370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
6	1, 3, 5	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
7		snexg 4323	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
9		opvtxfv 16468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑌 ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11	10	pweqd 3693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝒫 𝑉)
12	3, 11	eleqtrrd 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
13		upgr1een.2o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
14	2, 12, 13	elrabd 2984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
15	1, 14	fsnd 5687	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩}:{𝐾}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
16		opiedgfv 16471	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑌 ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
17	4, 8, 16	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
18	17	dmeqd 4985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = dom {⟨𝐾, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5262	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
20	3, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {𝐾})
22	17, 21	feq12d 5526	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ {⟨𝐾, 𝐸⟩}:{𝐾}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
23	15, 22	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
24	1, 4, 3, 13	upgr1een 16570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph)
25		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
26		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
27	25, 26	isumgren 16551	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph → (⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
28	24, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
29	23, 28	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540

This theorem is used by:  p1evtxdp1fi  16759