Theorem zdvdsdc 12289

Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
zdvdsdc	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem zdvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	znegcld 9539	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 < 0)
4	1	zred 9537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	lt0neg1d 8630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < -𝑀))
6	3, 5	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 0 < -𝑀)
7		elnnz 9424	. . . . 5 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ ↔ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑀))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℕ)
9		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		dvdsdc 12275	. . . 4 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
12		negdvdsb 12284	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
14	13	dcbid 842	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID -𝑀 ∥ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
16		0z 9425	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zdceq 9490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	16, 17	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
19	18	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑁 = 0)
20		breq1 4065	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
22		0dvds 12288	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
23	22	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 23	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	24	dcbid 842	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑁 = 0))
26	19, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
27		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
29		elnnz 9424	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
30	27, 28, 29	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		dvdsdc 12275	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
34		ztri3or0 9456	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
35	34	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
36	15, 26, 33, 35	mpjao3dan 1322	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 838   ∨ w3o 982   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  0cc0 7967   < clt 8149  -cneg 8286  ℕcn 9078  ℤcz 9414   ∥ cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512  df-dvds 12265

This theorem is referenced by:  lcmval  12551  lcmcllem  12555  lcmledvds  12558  phiprmpw  12710  pclemdc  12777  pc2dvds  12819  unennn  12934