Theorem zdvdsdc 11787

Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
zdvdsdc	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem zdvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	znegcld 9350	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 < 0)
4	1	zred 9348	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	lt0neg1d 8446	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < -𝑀))
6	3, 5	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 0 < -𝑀)
7		elnnz 9236	. . . . 5 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ ↔ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑀))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℕ)
9		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		dvdsdc 11773	. . . 4 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
12		negdvdsb 11782	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
14	13	dcbid 838	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID -𝑀 ∥ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
16		0z 9237	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zdceq 9301	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	16, 17	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
19	18	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑁 = 0)
20		breq1 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
22		0dvds 11786	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
23	22	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 23	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	24	dcbid 838	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑁 = 0))
26	19, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
27		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
29		elnnz 9236	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
30	27, 28, 29	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		dvdsdc 11773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
34		ztri3or0 9268	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
35	34	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
36	15, 26, 33, 35	mpjao3dan 1307	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  0cc0 7786   < clt 7966  -cneg 8103  ℕcn 8892  ℤcz 9226   ∥ cdvds 11762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-q 9593  df-rp 9625  df-fl 10240  df-mod 10293  df-dvds 11763

This theorem is referenced by:  lcmval  12030  lcmcllem  12034  lcmledvds  12037  phiprmpw  12189  pclemdc  12255  pc2dvds  12296  unennn  12365