Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdvdsdc GIF version

Theorem zdvdsdc 11548
 Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
zdvdsdc ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)

Proof of Theorem zdvdsdc
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21znegcld 9198 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 109 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 < 0)
41zred 9196 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
54lt0neg1d 8300 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < -𝑀))
63, 5mpbid 146 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 0 < -𝑀)
7 elnnz 9087 . . . . 5 (-𝑀 ∈ ℕ ↔ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑀))
82, 6, 7sylanbrc 414 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℕ)
9 simplr 520 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 dvdsdc 11535 . . . 4 ((-𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID -𝑀𝑁)
118, 9, 10syl2anc 409 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID -𝑀𝑁)
12 negdvdsb 11543 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
1312adantr 274 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
1413dcbid 824 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (DECID 𝑀𝑁DECID -𝑀𝑁))
1511, 14mpbird 166 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID 𝑀𝑁)
16 0z 9088 . . . . 5 0 ∈ ℤ
17 zdceq 9149 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
1816, 17mpan2 422 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
1918ad2antlr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑁 = 0)
20 breq1 3939 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
2120adantl 275 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
22 0dvds 11547 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2322ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2421, 23bitrd 187 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑁𝑁 = 0))
2524dcbid 824 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (DECID 𝑀𝑁DECID 𝑁 = 0))
2619, 25mpbird 166 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑀𝑁)
27 simpll 519 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 simpr 109 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
29 elnnz 9087 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
3027, 28, 29sylanbrc 414 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31 simplr 520 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 dvdsdc 11535 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
3330, 31, 32syl2anc 409 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → DECID 𝑀𝑁)
34 ztri3or0 9119 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
3534adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
3615, 26, 33, 35mpjao3dan 1286 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3936  0cc0 7643   < clt 7823  -cneg 7957  ℕcn 8743  ℤcz 9077   ∥ cdvds 11527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-q 9438  df-rp 9470  df-fl 10073  df-mod 10126  df-dvds 11528 This theorem is referenced by:  lcmval  11778  lcmcllem  11782  lcmledvds  11785  phiprmpw  11932  unennn  11944
 Copyright terms: Public domain W3C validator