ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdvdsdc GIF version

Theorem zdvdsdc 11837
Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
zdvdsdc ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)

Proof of Theorem zdvdsdc
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21znegcld 9395 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 110 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 < 0)
41zred 9393 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
54lt0neg1d 8490 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < -𝑀))
63, 5mpbid 147 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 0 < -𝑀)
7 elnnz 9281 . . . . 5 (-𝑀 ∈ ℕ ↔ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑀))
82, 6, 7sylanbrc 417 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℕ)
9 simplr 528 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 dvdsdc 11823 . . . 4 ((-𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID -𝑀𝑁)
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID -𝑀𝑁)
12 negdvdsb 11832 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
1312adantr 276 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
1413dcbid 839 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (DECID 𝑀𝑁DECID -𝑀𝑁))
1511, 14mpbird 167 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID 𝑀𝑁)
16 0z 9282 . . . . 5 0 ∈ ℤ
17 zdceq 9346 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
1816, 17mpan2 425 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
1918ad2antlr 489 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑁 = 0)
20 breq1 4021 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
2120adantl 277 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
22 0dvds 11836 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2322ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2421, 23bitrd 188 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑁𝑁 = 0))
2524dcbid 839 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (DECID 𝑀𝑁DECID 𝑁 = 0))
2619, 25mpbird 167 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑀𝑁)
27 simpll 527 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 simpr 110 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
29 elnnz 9281 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
3027, 28, 29sylanbrc 417 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31 simplr 528 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 dvdsdc 11823 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
3330, 31, 32syl2anc 411 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → DECID 𝑀𝑁)
34 ztri3or0 9313 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
3534adantr 276 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
3615, 26, 33, 35mpjao3dan 1318 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7829   < clt 8010  -cneg 8147  cn 8937  cz 9271  cdvds 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-q 9638  df-rp 9672  df-fl 10288  df-mod 10341  df-dvds 11813
This theorem is referenced by:  lcmval  12081  lcmcllem  12085  lcmledvds  12088  phiprmpw  12240  pclemdc  12306  pc2dvds  12347  unennn  12416
  Copyright terms: Public domain W3C validator