Theorem zdvdsdc 11832

Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
zdvdsdc	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem zdvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	znegcld 9390	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 < 0)
4	1	zred 9388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	lt0neg1d 8485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < -𝑀))
6	3, 5	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 0 < -𝑀)
7		elnnz 9276	. . . . 5 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ ↔ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑀))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → -𝑀 ∈ ℕ)
9		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		dvdsdc 11818	. . . 4 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID -𝑀 ∥ 𝑁)
12		negdvdsb 11827	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))
14	13	dcbid 839	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID -𝑀 ∥ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
16		0z 9277	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zdceq 9341	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	16, 17	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
19	18	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑁 = 0)
20		breq1 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
22		0dvds 11831	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
23	22	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 23	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	24	dcbid 839	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑁 = 0))
26	19, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
27		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
29		elnnz 9276	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
30	27, 28, 29	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		dvdsdc 11818	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝑀) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)
34		ztri3or0 9308	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
35	34	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 0 ∨ 𝑀 = 0 ∨ 0 < 𝑀))
36	15, 26, 33, 35	mpjao3dan 1317	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∨ w3o 978   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  0cc0 7824   < clt 8005  -cneg 8142  ℕcn 8932  ℤcz 9266   ∥ cdvds 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336  df-dvds 11808

This theorem is referenced by:  lcmval  12076  lcmcllem  12080  lcmledvds  12083  phiprmpw  12235  pclemdc  12301  pc2dvds  12342  unennn  12411