Theorem zfz1isolemsplit 11268

Description: Lemma for zfz1iso 11271. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemsplit.mx	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
4		diffisn 7187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
6		hashcl 11198	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9936	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9		1m1e0 9352	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	fveq2i 5693	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
11	8, 10	eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
12	7, 11	eleqtrdi 2331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
13		fzsuc2 10464	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
14	1, 12, 13	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
15		hashdifsn 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
16	2, 3, 15	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
17	16	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + 1))
18		hashcl 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 9601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
21		1cnd 8332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 8631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
23	17, 22	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (♯‘𝑋))
24	23	oveq2d 6091	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = (1...(♯‘𝑋)))
25	23	sneqd 3718	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)} = {(♯‘𝑋)})
26	25	uneq2d 3383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2279	1 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218  {csn 3705  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  11269  zfz1isolem1  11270