Theorem zfz1isolemsplit 10947

Description: Lemma for zfz1iso 10950. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemsplit.mx	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
4		diffisn 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
6		hashcl 10890	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9653	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9		1m1e0 9076	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	fveq2i 5564	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
11	8, 10	eqtr4i 2220	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
12	7, 11	eleqtrdi 2289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
13		fzsuc2 10171	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
14	1, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
15		hashdifsn 10928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
16	2, 3, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
17	16	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + 1))
18		hashcl 10890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 9321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
21		1cnd 8059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 8358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
23	17, 22	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (♯‘𝑋))
24	23	oveq2d 5941	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = (1...(♯‘𝑋)))
25	23	sneqd 3636	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)} = {(♯‘𝑋)})
26	25	uneq2d 3318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2237	1 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155  {csn 3623  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  ♯chash 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-ihash 10885

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10948  zfz1isolem1  10949