Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfz1isolemsplit GIF version

Theorem zfz1isolemsplit 10611
 Description: Lemma for zfz1iso 10614. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolemsplit.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemsplit.mx (𝜑𝑀𝑋)
Assertion
Ref Expression
zfz1isolemsplit (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Proof of Theorem zfz1isolemsplit
StepHypRef Expression
1 1zzd 9103 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2 zfz1isolemsplit.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 zfz1isolemsplit.mx . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑋)
4 diffisn 6793 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
52, 3, 4syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
6 hashcl 10557 . . . . 5 ((𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
8 nn0uz 9382 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
9 1m1e0 8811 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
109fveq2i 5430 . . . . 5 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
118, 10eqtr4i 2164 . . . 4 0 = (ℤ‘(1 − 1))
127, 11eleqtrdi 2233 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
13 fzsuc2 9888 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
141, 12, 13syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
15 hashdifsn 10595 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
162, 3, 15syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
1716oveq1d 5795 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + 1))
18 hashcl 10557 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
192, 18syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 9054 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
21 1cnd 7804 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2220, 21npcand 8099 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
2317, 22eqtrd 2173 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (♯‘𝑋))
2423oveq2d 5796 . 2 (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = (1...(♯‘𝑋)))
2523sneqd 3543 . . 3 (𝜑 → {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)} = {(♯‘𝑋)})
2625uneq2d 3233 . 2 (𝜑 → ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
2714, 24, 263eqtr3d 2181 1 (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∖ cdif 3071   ∪ cun 3072  {csn 3530  ‘cfv 5129  (class class class)co 5780  Fincfn 6640  0cc0 7642  1c1 7643   + caddc 7645   − cmin 7955  ℕ0cn0 8999  ℤcz 9076  ℤ≥cuz 9348  ...cfz 9819  ♯chash 10551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-if 3478  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-iord 4294  df-on 4296  df-ilim 4297  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-irdg 6273  df-frec 6294  df-1o 6319  df-oadd 6323  df-er 6435  df-en 6641  df-dom 6642  df-fin 6643  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-fz 9820  df-ihash 10552 This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10612  zfz1isolem1  10613
 Copyright terms: Public domain W3C validator