Theorem zfz1isolemsplit 10773

Description: Lemma for zfz1iso 10776. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemsplit.mx	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9239	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
4		diffisn 6871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
6		hashcl 10715	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9521	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9		1m1e0 8947	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	fveq2i 5499	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
11	8, 10	eqtr4i 2194	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
12	7, 11	eleqtrdi 2263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
13		fzsuc2 10035	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
14	1, 12, 13	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
15		hashdifsn 10754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
16	2, 3, 15	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
17	16	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + 1))
18		hashcl 10715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 9190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
21		1cnd 7936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 8234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
23	17, 22	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (♯‘𝑋))
24	23	oveq2d 5869	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = (1...(♯‘𝑋)))
25	23	sneqd 3596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)} = {(♯‘𝑋)})
26	25	uneq2d 3281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2211	1 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119  {csn 3583  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   − cmin 8090  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965  ♯chash 10709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-ihash 10710

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10774  zfz1isolem1  10775