Theorem zfz1isolemsplit 10853

Description: Lemma for zfz1iso 10856. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemsplit.mx	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
4		diffisn 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
6		hashcl 10796	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝑀}) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9594	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9		1m1e0 9019	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	fveq2i 5537	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
11	8, 10	eqtr4i 2213	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
12	7, 11	eleqtrdi 2282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
13		fzsuc2 10111	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
14	1, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}))
15		hashdifsn 10834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
16	2, 3, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
17	16	oveq1d 5912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + 1))
18		hashcl 10796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 9262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
21		1cnd 8004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 8303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
23	17, 22	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1) = (♯‘𝑋))
24	23	oveq2d 5913	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)) = (1...(♯‘𝑋)))
25	23	sneqd 3620	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)} = {(♯‘𝑋)})
26	25	uneq2d 3304	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {((♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) + 1)}) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2230	1 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∖ cdif 3141   ∪ cun 3142  {csn 3607  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  Fincfn 6767  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   − cmin 8159  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284  ℤ_≥cuz 9559  ...cfz 10040  ♯chash 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-ihash 10791

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10854  zfz1isolem1  10855