Theorem zlmplusgg 13788

Description: Group operation of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmplusg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmplusgg	|- ( G e. V -> .+ = ( +g ` W ) )

Proof of Theorem zlmplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmplusg.2	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
2		zlmbas.w	. . 3 |- W = ( ZMod ` G )
3		plusgid 12584	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
4		plusgndxnn 12585	. . 3 |- ( +g ` ndx ) e. NN
5		scandxnplusgndx 12628	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6	5	necomi 2442	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
7		vscandxnplusgndx 12633	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
8	7	necomi 2442	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9	2, 3, 4, 6, 8	zlmlemg 13786	. 2 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` W ) )
10	1, 9	eqtrid 2232	1 |- ( G e. V -> .+ = ( +g ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228   ndxcnx 12473   +g cplusg 12551  Scalarcsca 12554   .scvsca 12555   ZModczlm 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399  df-uz 9543  df-fz 10023  df-seqfrec 10460  df-cj 10865  df-struct 12478  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-starv 12566  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-mulg 13015  df-subg 13062  df-cmn 13123  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-ring 13250  df-cring 13251  df-subrg 13439  df-icnfld 13738  df-zring 13763  df-zlm 13783

This theorem is referenced by: (None)