Theorem zlmplusgg 14750

Description: Group operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmplusgg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑊))

Proof of Theorem zlmplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		plusgid 13297	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		plusgndxnn 13298	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
5		scandxnplusgndx 13342	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6	5	necomi 2497	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7		vscandxnplusgndx 13347	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
8	7	necomi 2497	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	2, 3, 4, 6, 8	zlmlemg 14748	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
10	1, 9	eqtrid 2277	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5343  ndxcnx 13183  +_gcplusg 13264  Scalarcsca 13267   ·_𝑠 cvsca 13268  ℤModczlm 14732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-addf 8237  ax-mulf 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-tp 3690  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-5 9287  df-6 9288  df-7 9289  df-8 9290  df-9 9291  df-n0 9485  df-z 9564  df-dec 9696  df-uz 9840  df-rp 9973  df-fz 10329  df-seqfrec 10796  df-cj 11505  df-abs 11662  df-struct 13188  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-sets 13193  df-iress 13194  df-plusg 13277  df-mulr 13278  df-starv 13279  df-sca 13280  df-vsca 13281  df-tset 13283  df-ple 13284  df-ds 13286  df-unif 13287  df-0g 13445  df-topgen 13447  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-grp 13690  df-minusg 13691  df-mulg 13811  df-subg 13861  df-cmn 13977  df-mgp 14039  df-ur 14078  df-ring 14116  df-cring 14117  df-subrg 14338  df-bl 14666  df-mopn 14667  df-fg 14669  df-metu 14670  df-cnfld 14677  df-zring 14711  df-zlm 14735

This theorem is referenced by: (None)