Theorem zltlem1 9655

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9635	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zleltp1 9653	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4		zcn 9602	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 8236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 8499	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	breq2d 4126	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
10	3, 9	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  ℤcz 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598

This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  9662  nn0lt2  9680  nn0le2is012  9681  nnltlem1  9684  nnm1ge0  9685  zextlt  9691  uzm1  9906  elfzm11  10450  elfzo  10508  fzosplitprm1  10605  intfracq  10709  iseqf1olemqcl  10888  iseqf1olemnab  10890  iseqf1olemab  10891  seq3f1olemqsumkj  10900  seq3f1olemqsum  10902  seqf1oglem1  10908  bcm1n  11159  seq3coll  11242  fzm1ndvds  12571  bitscmp  12673  nn0seqcvgd  12767  isprm3  12844  isprm5lem  12867  isprm5  12868  pw2dvds  12892  prmdiveq  12962  4sqlem12  13129  ballotfilemimin  13197  ballotfilemfrcn0  13221  wilthlem1  15978  lgseisenlem2  16074  lgsquadlem1  16080  2lgslem1a1  16089  2sqlem8  16126