ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltlem1 GIF version

Theorem zltlem1 9118
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9099 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 zleltp1 9116 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
31, 2sylan2 284 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4 zcn 9066 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 7720 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 7978 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 409 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87adantl 275 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98breq2d 3941 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
103, 9bitr2d 188 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7625  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940  cz 9061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  9125  nn0lt2  9139  nn0le2is012  9140  nnltlem1  9143  nnm1ge0  9144  zextlt  9150  uzm1  9363  elfzm11  9878  elfzo  9933  fzosplitprm1  10018  intfracq  10100  iseqf1olemqcl  10266  iseqf1olemnab  10268  iseqf1olemab  10269  seq3f1olemqsumkj  10278  seq3f1olemqsum  10280  seq3coll  10592  fzm1ndvds  11561  nn0seqcvgd  11729  isprm3  11806  pw2dvds  11851
  Copyright terms: Public domain W3C validator