Theorem znadd 14661

Description: The additive structure of ℤ/nℤ is the same as the quotient ring it is based on. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znadd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑌))

Proof of Theorem znadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval2.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval2.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		plusgid 13198	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
5		plusgndxnn 13199	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6		plendxnplusgndx 13294	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	6	necomi 2487	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	znbaslemnn 14659	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℕ₀cn0 9402  ndxcnx 13084  +_gcplusg 13165  lecple 13172   /_s cqus 13388   ~_QG cqg 13761  RSpancrsp 14488  ℤ_ringczring 14610  ℤ/nℤczn 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-ec 6704  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-cj 11407  df-abs 11564  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-starv 13180  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-tset 13184  df-ple 13185  df-ds 13187  df-unif 13188  df-0g 13346  df-topgen 13348  df-iimas 13390  df-qus 13391  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-subg 13762  df-eqg 13764  df-cmn 13878  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-cring 14018  df-rhm 14172  df-subrg 14239  df-lsp 14407  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-rsp 14490  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-fg 14569  df-metu 14570  df-cnfld 14577  df-zring 14611  df-zrh 14634  df-zn 14636

This theorem is referenced by:  znzrh  14663  zncrng  14665