Theorem dsndxnn 13120

Description: The index of the slot for the distance in an extensible structure is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnn	⊢ (dist‘ndx) ∈ ℕ

Proof of Theorem dsndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsndx 13117	. 2 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
2		1nn0 9326	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn 9213	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 9538	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ (dist‘ndx) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5279  1c1 7941  ℕcn 9051  2c2 9102  ;cdc 9519  ndxcnx 12899  distcds 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-sub 8260  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-9 9117  df-n0 9311  df-dec 9520  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-ds 13001

This theorem is referenced by:  prdsex  13171  prdsval  13175