Theorem eqgabl 13284

Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
eqgabl.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgabl	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2189	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3		eqid 2189	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqgabl.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	eqgval 13179	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 13245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	1, 2	grpinvcl 13007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	1, 3	ablcom 13259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
15		eqgabl.n	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	1, 3, 2, 15	grpsubval 13005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
17	12, 9, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
18	14, 17	eqtr4d 2225	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eleq1d 2258	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
20	19	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
21		df-3an 982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22		df-3an 982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
23	20, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
24	5, 23	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  Basecbs 12515  +_gcplusg 12592  Grpcgrp 12960  inv_gcminusg 12961  -_gcsg 12962   ~_QG cqg 13125  Abelcabl 13241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965  df-eqg 13128  df-cmn 13242  df-abl 13243

This theorem is referenced by:  qusecsub  13285  2idlcpblrng  13855