Theorem eqgabl 14134

Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
eqgabl.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgabl	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqgabl.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	eqgval 14026	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 14092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	1, 2	grpinvcl 13853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	1, 3	ablcom 14106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
15		eqgabl.n	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	1, 3, 2, 15	grpsubval 13851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
17	12, 9, 16	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
18	14, 17	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
20	19	pm5.32da 456	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
21		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
23	20, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
24	5, 23	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  Grpcgrp 13805  inv_gcminusg 13806  -_gcsg 13807   ~_QG cqg 13972  Abelcabl 14088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-eqg 13975  df-cmn 14089  df-abl 14090

This theorem is used by:  qusecsub  14135  2idlcpblrng  14860  zndvds  14984