Theorem psrbagfsupp 14868

Description: Finite bags have finite support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 14867	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	3	ffnd 5511	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 5558	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
6	2	psrbag 14866	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	6	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	5, 7	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
10		fcdmnn0fsuppg 9556	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
11	3, 10	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	9, 11	mpbird 167	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815   class class class wbr 4111  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977   finSupp cfsupp 7240  0cc0 8132  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-supp 6438  df-map 6886  df-fsupp 7241  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-inn 9243  df-n0 9502

This theorem is referenced by: (None)