Theorem psrbagfsupp 15038

Description: Finite bags have finite support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagf 15037	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	3	ffnd 5532	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 5579	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
6	2	psrbag 15036	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	6	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	5, 7	mpancom 426	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
10		fcdmnn0fsuppg 9601	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
11	3, 10	mpdan 425	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
12	9, 11	mpbird 167	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   class class class wbr 4128  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775  ⟶wf 5371  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016   finSupp cfsupp 7279  0cc0 8173  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470  df-map 6918  df-fsupp 7280  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-inn 9288  df-n0 9547

This theorem is referenced by: (None)