Theorem fipwfi 7314

Description: The set of finite subsets of a finite set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fipwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)

Proof of Theorem fipwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6787	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7167	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ Fin
4		mapfi 7254	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
5	3, 4	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
6		2omapfi 7313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7	6	ensymd 7063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (2o ↑𝑚 𝐴))
8		enfii 7169	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (2o ↑𝑚 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 415	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  ωcom 4735  (class class class)co 6078  2_oc2o 6674   ↑_𝑚 cmap 6915   ≈ cen 7013  Fincfn 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-1o 6680  df-2o 6681  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-fin 7018

This theorem is referenced by:  hashpwfi  11250  hashfibclem  11263  ballotfilemofi  13200