Theorem fipwfi 7274

Description: The set of finite subsets of a finite set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fipwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)

Proof of Theorem fipwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6756	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7129	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ Fin
4		mapfi 7216	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
6		2omapfi 7273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7	6	ensymd 7025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (2o ↑𝑚 𝐴))
8		enfii 7131	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (2o ↑𝑚 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ∩ cin 3212  𝒫 cpw 3671   class class class wbr 4111  ωcom 4714  (class class class)co 6052  2_oc2o 6643   ↑_𝑚 cmap 6884   ≈ cen 6975  Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  hashpwfi  11197  hashfibclem  11210  ballotfilemofi  13142