Theorem hashpwfi 11193

Description: The number of finite subsets of a finite set is two raised to the power of the size of the set. For a similar theorem with set size expressed using equinumerosity, see 2omapfi 7271. For the number of subsets (which need not be finite) of a set, see pw1mapen 16770. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashpwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapfi 7271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2		2onn 6754	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		nnfi 7127	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
5		mapfi 7214	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
7		fipwfi 7272	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)
8		hashen 11147	. . . 4 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin) → ((♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ↔ (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ↔ (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
10	1, 9	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11		hashmap 11192	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)))
12	4, 11	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)))
13		hash2 11177	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
14	13	oveq1i 6060	. . 3 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)) = (2↑(♯‘𝐴))
15	12, 14	eqtrdi 2281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (2↑(♯‘𝐴)))
16	10, 15	eqtr3d 2267	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∩ cin 3210  𝒫 cpw 3669   class class class wbr 4109  ωcom 4712  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  2_oc2o 6641   ↑_𝑚 cmap 6882   ≈ cen 6973  Fincfn 6975  2c2 9288  ↑cexp 10900  ♯chash 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139

This theorem is referenced by: (None)