Theorem hashpwfi 11291

Description: The number of finite subsets of a finite set is two raised to the power of the size of the set. For a similar theorem with set size expressed using equinumerosity, see 2omapfi 7326. For the number of subsets (which need not be finite) of a set, see pw1mapen 17231. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashpwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapfi 7326	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2		2onn 6798	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		nnfi 7178	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
5		mapfi 7265	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
7		fipwfi 7327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin)
8		hashen 11245	. . . 4 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ Fin) → ((♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ↔ (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ↔ (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
10	1, 9	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11		hashmap 11290	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)))
12	4, 11	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)))
13		hash2 11275	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
14	13	oveq1i 6098	. . 3 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝐴)) = (2↑(♯‘𝐴))
15	12, 14	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑𝑚 𝐴)) = (2↑(♯‘𝐴)))
16	10, 15	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) = (2↑(♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131  ωcom 4739  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  2_oc2o 6685   ↑_𝑚 cmap 6926   ≈ cen 7024  Fincfn 7026  2c2 9364  ↑cexp 10996  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237

This theorem is used by: (None)