Theorem ballotfilemofi 13142

Description: 𝑂 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfi.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemofi	⊢ 𝑂 ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotfilemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfi.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2		1z 9605	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		nnaddcl 9259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
7	6	nnzi 9600	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
8		fzfig 10796	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
9	2, 7, 8	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
10		fipwfi 7274	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin → (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∈ Fin)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∈ Fin)
12		elinel2 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → 𝑐 ∈ Fin)
13		hashcl 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → (♯‘𝑐) ∈ ℤ)
16	3	nnzi 9600	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17		zdceq 9655	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑐) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
19	18	rgen 2597	. . . . 5 ⊢ ∀𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin)DECID (♯‘𝑐) = 𝑀
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin)DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
21	11, 20	ssfirab 7199	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ∈ Fin)
22	21	mptru 1407	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ∈ Fin
23	1, 22	eqeltri 2307	1 ⊢ 𝑂 ∈ Fin

Syntax hints:  DECID wdc 842   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ∩ cin 3212  𝒫 cpw 3671  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  1c1 8130   + caddc 8132  ℕcn 9239  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ♯chash 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-ihash 11143

This theorem is referenced by:  ballotfilem2  13149