Theorem ballotfilemofi 13116

Description: 𝑂 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfi.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemofi	⊢ 𝑂 ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotfilemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfi.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2		1z 9589	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		nnaddcl 9245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
7	6	nnzi 9584	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
8		fzfig 10778	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
9	2, 7, 8	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
10		fipwfi 7263	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin → (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∈ Fin)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∈ Fin)
12		elinel2 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → 𝑐 ∈ Fin)
13		hashcl 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → (♯‘𝑐) ∈ ℤ)
16	3	nnzi 9584	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17		zdceq 9639	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑐) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) → DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
19	18	rgen 2595	. . . . 5 ⊢ ∀𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin)DECID (♯‘𝑐) = 𝑀
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin)DECID (♯‘𝑐) = 𝑀)
21	11, 20	ssfirab 7188	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ∈ Fin)
22	21	mptru 1407	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ∈ Fin
23	1, 22	eqeltri 2305	1 ⊢ 𝑂 ∈ Fin

Syntax hints:  DECID wdc 842   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524   ∩ cin 3209  𝒫 cpw 3665  ‘cfv 5343  (class class class)co 6041  Fincfn 6966  1c1 8116   + caddc 8118  ℕcn 9225  ℕ₀cn0 9484  ℤcz 9563  ...cfz 10328  ♯chash 11123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-1o 6638  df-2o 6639  df-er 6758  df-map 6875  df-en 6967  df-dom 6968  df-fin 6969  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-fz 10329  df-ihash 11124

This theorem is referenced by: (None)