Theorem ringlz 13849

Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13807	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13405	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 13407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq1d 5966	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
10	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11, 11, 12	3jca 1180	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		rngz.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	ringdir 13825	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
16	13, 15	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
17	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19	2, 14	ringcl 13819	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	18, 11, 12, 19	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21	2, 5, 3	grprid 13408	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
22	21	eqcomd 2212	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
24	9, 16, 23	3eqtr3d 2247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
25	2, 5	grplcan 13438	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
26	17, 20, 11, 20, 25	syl13anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
27	24, 26	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  0_gc0g 13132  Grpcgrp 13376  Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-mgp 13727  df-ring 13804

This theorem is referenced by:  ringlzd  13851  ringsrg  13853  ring1eq0  13854  ringnegl  13857  mulgass2  13864  dvdsr01  13910  0unit  13935  domneq0  14078