ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringlz GIF version

Theorem ringlz 13227
Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngz.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringlz ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )

Proof of Theorem ringlz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 13189 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2 rngz.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 rngz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
42, 3grpidcl 12909 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5 eqid 2177 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
62, 5, 3grplid 12911 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 412 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
87adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
98oveq1d 5892 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = ( 0 ยท ๐‘‹))
101, 4syl 14 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1110adantr 276 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
12 simpr 110 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1311, 11, 123jca 1177 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
14 rngz.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
152, 5, 14ringdir 13207 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
1613, 15syldan 282 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
171adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
18 simpl 109 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
192, 14ringcl 13201 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2018, 11, 12, 19syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
212, 5, 3grprid 12912 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) = ( 0 ยท ๐‘‹))
2221eqcomd 2183 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2317, 20, 22syl2anc 411 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
249, 16, 233eqtr3d 2218 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
252, 5grplcan 12937 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2617, 20, 11, 20, 25syl13anc 1240 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2724, 26mpbid 147 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  0gc0g 12710  Grpcgrp 12882  Ringcrg 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mgp 13136  df-ring 13186
This theorem is referenced by:  ringsrg  13229  ring1eq0  13230  ringnegl  13233  mulgass2  13240  dvdsr01  13278  0unit  13303
  Copyright terms: Public domain W3C validator