ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringlz GIF version

Theorem ringlz 13153
Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 13115 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 12836 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2177 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 12838 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 412 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
87adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98oveq1d 5887 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
101, 4syl 14 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1110adantr 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
12 simpr 110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
1311, 11, 123jca 1177 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵))
14 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
152, 5, 14ringdir 13133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
1613, 15syldan 282 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
171adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18 simpl 109 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
192, 14ringcl 13127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2018, 11, 12, 19syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
212, 5, 3grprid 12839 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
2221eqcomd 2183 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
2317, 20, 22syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
249, 16, 233eqtr3d 2218 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
252, 5grplcan 12864 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
2617, 20, 11, 20, 25syl13anc 1240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
2724, 26mpbid 147 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  .rcmulr 12529  0gc0g 12693  Grpcgrp 12809  Ringcrg 13110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-mgp 13062  df-ring 13112
This theorem is referenced by:  ringsrg  13155  ring1eq0  13156  ringnegl  13159  mulgass2  13166  dvdsr01  13204  0unit  13229
  Copyright terms: Public domain W3C validator