Theorem ringlz 13972

Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13930	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13528	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 13530	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq1d 5989	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
10	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11, 11, 12	3jca 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		rngz.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	ringdir 13948	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
16	13, 15	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
17	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19	2, 14	ringcl 13942	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	18, 11, 12, 19	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21	2, 5, 3	grprid 13531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
22	21	eqcomd 2215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
24	9, 16, 23	3eqtr3d 2250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
25	2, 5	grplcan 13561	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
26	17, 20, 11, 20, 25	syl13anc 1254	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
27	24, 26	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  0_gc0g 13255  Grpcgrp 13499  Ringcrg 13925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-mgp 13850  df-ring 13927

This theorem is referenced by:  ringlzd  13974  ringsrg  13976  ring1eq0  13977  ringnegl  13980  mulgass2  13987  dvdsr01  14033  0unit  14058  domneq0  14201